Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję.

[DeMatt20]

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję :
\(\displaystyle{ \frac{2x}{\pi} dla x \in (-\pi,\pi)}\).

Proszę o skrupulatne wytłumaczenie metody rozwijania funkcji w szereg fouriera.
Z góry bardzo dziękuje i pozdrawiam!

[spajder]

Tu nie ma co myśleć, podstawisz pod wzory i samo idzie. Jako, że funkcja jest nieparzysta to wyraz wolny jak i wszystkie współczynniki przy kosinusach są równe \(\displaystyle{ 0}\).
Trza tylko policzyć współczynniki przy sinusach:

\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{2x}{\pi}\sin{nx}dx = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{2x}{\pi}\sin{nx}dx = \frac{2}{\pi^2n^2}\left.\left(\sin{nx}-nx\cos{nx}\right)\right|_0^{\pi}=\frac{\sin{n\pi}-\pi n\cos{\pi n}}{\pi^2n^2}=\frac{-\pi n\left(-1\right)^{n+1}}{\pi^2 n^2}=\frac{\left(-1\right)^n}{\pi n}}\)

Samą całkę policzyła maxima.

[oluszek7]

wydaje mi się że zgubiłeś dwie dwójki, wg mnie wynik powiniem być wymnożony razy 4, ale może się mylę to mnie poprawcie

[spajder]

Wklepałem jeszcze raz w maximę (pewnie wcześniej jednej dwójki zapomniałem) i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{4\sin{\pi n}-\pi n\cos{\pi n}}{\pi^2 n^2}}\)

Czyli był błąd (dochodzi ta czwórka na początku), ale ze względu na zerowanie sinusa wynik się nie zmienia.