Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

DeMatt20 · Post autor: **DeMatt20** » 13 cze 2009, o 08:04

Treść zadania : Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ Z = 12 - x^{2} - y^{2} i Z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
Naszkicować tę bryłę.

Bardzo proszę o dokładne wytłumaczenie mi metody obliczania podobnych zadań.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 cze 2009, o 08:18

Przejdź na współrzędne biegunowe i skorzystaj z całki podwójnej

Jakobian przekształcenia wynosi r

\(\displaystyle{ \iint{12r-r^3-r^2 \mbox{d}r \mbox{d\theta}}\)

meninio · Post autor: **meninio** » 13 cze 2009, o 10:03

Jeszcze kolega zapomniał o obszarze całkowania, bo bez tego .....

Pierwsza z tych powierzchni to paraboloida eliptyczna (obrotowa), a druga to górna połówka powierzchni stożkowej. Pierwsza z tych powierzchni ogranicza szukany obszar z góry, a druga z dołu.

Ślad na płaszczyźnie OXY, jaki pozostawia część wspólna obydwu obszarów znajdziemy przyrównując do siebie obydwie krzywe:

\(\displaystyle{ 12-x^2-y^2=\sqrt{x^2+y^2}}\)

Po wprowadzeniu współrzędnych biegunowych dostaniemy:

\(\displaystyle{ 12-r^2=r \\ \\ r^2+r-12=0 \\ \\ r=-4 \vee r=3 \wedge r \ge 0 \Rightarrow r=3}\)

A więc, częścią wspólną obydwu powierzchni jest okrąg o promieniu 3.
Więc po parametryzacji dostaniemy następujący obszar:

\(\displaystyle{ \Delta: \begin{cases} x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ 0 \le r \le 3 \\ 0 \le \phi \le 2\pi \\|J|=r \end{cases}}\)

Szukana objętość:

\(\displaystyle{ V=\iint \limits_D \left(z_1-z_2 \right) \mbox{d}x \mbox{d}y = \iint \limits_D \left( 12-x^2-y^2-\sqrt{x^2+y^2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y \\ V=\iint \limits_{\Delta} \left(12-r^2-r \right)r \mbox{d}r \mbox{d}\phi=\ldots}\)

DeMatt20 · Post autor: **DeMatt20** » 13 cze 2009, o 10:24

meninio wielkie dzięki za tak bogatą odpowiedź!! Teraz rozumiem na czym polega znajdowanie obszaru całkowania.

Qniczynka · Post autor: **Qniczynka** » 16 cze 2009, o 20:06

meninio, podziwiam rozwiązanie, szczególnie pokuszenie się o zobrazowanie bryły. miło patrzeć.
jednak w ostatniej całce zjadłeś jakobian, czyli r. piszę, co by inni się nie musieli zastanawiać czemu Twój post i ten wcześniejszy mają inną odpowiedź.

meninio · Post autor: **meninio** » 16 cze 2009, o 21:56

Przypatrz się dobrze - on tam jest.

Qniczynka · Post autor: **Qniczynka** » 16 cze 2009, o 21:59

zwracam honor. ach te zmęczone oczy...

DeMatt20 · Post autor: **DeMatt20** » 17 cze 2009, o 08:45

Przepraszam, nie będzie to najbardziej profesjonalne pytanie, a mianowicie : skąd się bierze ten jakobian w tej całce?? z "delty" podstawiamy wszystko, ale to "r" po nawiasie w całce pojawia się znikąd. Moglibyście mi to jakoś "wytłumaczyć" ?

meninio · Post autor: **meninio** » 17 cze 2009, o 11:07

Jeśli obliczamy jakąś całkę i robimy jakieś podstawienie w tej całce, to po samym podstawieniu do całki nowych zmiennych trzeba jeszcze całość pomnożyć przez jakobian danego przekształcenia. Uogólniając dla danego przeksztłacenia:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=g(u,v)\\ y=h(u,v) \end{cases}}\)

Całka będzie wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \iint\limits_D f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y=\iint \limits_{\Delta} f(g(u,v),h(u,v))\cdot |J| \mbox{d} u \mbox{d}v}\)

A jakobianem przekształcenia nazywamy takie wyrażenie:

\(\displaystyle{ |J|= \left| \left|\begin{array}{cc}\frac{ \partial g}{ \partial u}&\frac{ \partial g}{ \partial v} \\ \\ \frac{ \partial h}{ \partial u}&\frac{ \partial g}{ \partial v} \end{array}\right|\right|}\)

W szczególności dla współrzędnych biegunowych jakobian przekształcenia wynosi \(\displaystyle{ |J|=r}\)
Spróbuj sam sobie to wykazać, wtedy pojmiesz o co chodzi.