Usuwanie niewymierności z mianownika

[Okularnica_5]

Mam problem z następującym zadaniem:
Usuń niewymierność z mianownika i wykonaj działania.
a) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{11} + 1 }{11 \sqrt{11} + 11 + \sqrt{11} } : \frac{1}{121 - \sqrt{11} }}\)
O ile dobrze myślę, pierwszy ułamek powinnam pomnożyć przez \(\displaystyle{ 11 \sqrt{11} + 11 - \sqrt{11}}\), a drugi przez \(\displaystyle{ 121 + \sqrt{11}}\)
Wychodzą mi wtedy bardzo duże liczby. Nie wiem czy to moje błędy rachunkowe czy zły tok rozumowania.

[Ptrk]

a)\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{11}+1}{11\sqrt{11}+11+\sqrt{11}}:\frac{1}{121-\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}+1}{12\sqrt{11}+11}\cdot\frac{121-\sqrt{11}}{1} = \frac{121\sqrt{11}-11+121-\sqrt{11}}{12\sqrt{11}+11} = \frac{120\sqrt{11}+110}{12\sqrt{11}+11}}\)
I już w tym punkcie widać że wynik to 10, ale jeśli chcesz usunąć niewymierność to wzorem skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}}\)
Ale wtedy wyjda duze liczby.

[Okularnica_5]

Gdybym zauważyła, że \(\displaystyle{ 11 \sqrt{11}}\) można dodać do \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\), to bym to zrobiła, ale po prostu trzeba być mną, żeby tego nie zauważyć Ale i tak dzięki.

[Ptrk]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{6}+\sqrt{35}-\sqrt{14}} = \frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{4\cdot3} = \frac{-\sqrt{15}-\sqrt{6}+\sqrt{35}+\sqrt{14}}{12}}\)

[Okularnica_5]

Wiem co trzeba robić z pierwiastkami 3 stopnia (ale jeśli są 2 w mianowniku), ale jeśli są trzy?
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} +\sqrt[3]{4} }}\)
Proszę o wzór lub rozwiązanie.

[Ptrk]

\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{ \sqrt[3]{5^{2} } + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{ 2^{2} } }}\)
Widzisz zależność?

[Okularnica_5]

Taak Chodziło mi właśnie o taką podpowiedź. Wyszło jak trzeba Dziękuję.