różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych

[Kamil2536]

Mam pytanie jak z definicji sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna w punkcie który jest podejrzany że może w nim nie być?

[rodzyn7773]

hm-nie wiem co to znaczy punkt podejrzany o różniczkowalność, ale może chodzi o to, że w tym punkcie funkcja jest ciągła. A sprawdza to się tak. Załóżmy, że mamy funkcję 2 zmiennych \(\displaystyle{ y=f(x,y)}\), która jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) oraz istnieją pochodne cząstkowe w tym punkcie. Wtedy z definicji mamy, że f jest różniczkowalna w tym punkcie jeśli:
\(\displaystyle{ f(x_0+h_x,y_0+h_y)=f(x_0,y_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) *h_x + \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0)*h_y+o( \sqrt{h_x^2+h_y^2} )}\)
Co ten warunek oznacza? Jeśli przeniesiemy trochę rzeczy na drugą stronę otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0,y_0)- \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) *h_x - \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0)*h_y=o( \sqrt{h_x^2+h_y^2} )}\)
A co oznacza ten warunek? To jest równoważne z tym, że:
\(\displaystyle{ \lim_{(h_x,h_y) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0,y_0)- \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) *h_x - \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0)*h_y}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}} =0}\)

Zatem jeżeli mamy pokazywać z definicji czy f jest różniczkowalna w jakimś punkcie należy sprawdzić, czy podana wyżej granica jest równa 0.
Podam jeszcze może tw. z którego często się korzysta podczas badania różniczkowalności funkcji wielu zmiennych:
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ y=f(x,y)}\) ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to jest w tym punkcie różniczkowalna.