Pochodne cząstkowe drugiego rzędu - zapis.

[giver]

Ucząc się obliczania pochodnych cząstkowych drugiego rzędu napotkałem się na dwa, a właściwie trzy rodzaje zapisu.
Do tej pory w książce mogłem spotkać zapis:
\(\displaystyle{ \frac{\delta}{\delta x}\left( \frac{\delta f}{\delta y} \right)= \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y}}\)
Oznaczało to, że liczbę pochodną najpierw po zmienne y, a następnie po zmiennej x.
W treści niektórych zadań widnieje natomiast zapis:
\(\displaystyle{ f^{''}_{xy}(x,y)}\)
W związku z tym mam pytanie czy oba zapisy są ze sobą równoważne czy w drugim przypadku należałoby zamienić miejsca w zapisie zmienną x i y. Jeszcze inaczej mówić: czy w jednym i drugim typie zapisu kolejność pisania zmiennych jest taka sama?

[makan]

Jak dla mnie to:
\(\displaystyle{ \frac{\delta}{\delta x}\left( \frac{\delta f}{\delta y} \right)= \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y} = f''_{yx}(x,y)}\)

Ponieważ pierwsze pochodne wyglądają tak: \(\displaystyle{ f'_x(x,y),\;f'_y(x,y)}\) i przy liczeniu drugich uzupełniasz o drugą zmienną.

[giver]

Ale można założyć, że \(\displaystyle{ \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y} = \frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta x}}\)?

[makan]

Tylko o ile jest spełnione tw Schwarza tj. istnieją i są ciągłe pierwsze pochodne.
Dla większości funkcji tak właśnie jest i stąd czasem bałagan w notacji.