Granica funkcji z cosx

[wiatrwproszku]

Policzyć granicę fukncji:
\(\displaystyle{ \lim_{ \to 0 } \frac{ x^{2} + cos ^{3}x - 1 }{cos4x -1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ \to 0 } (cosx) ^{ \frac{1}{ x^{2} } }}\)

Liczę z Hospitala

\(\displaystyle{ \lim_{ \to 0 } \frac{ x^{2} + cos ^{3}x - 1 }{cos4x -1} = \frac{2x + 3cos ^{2}x -sinx }{-4sinx} = \frac{1}{0} = \infty}\)



\(\displaystyle{ \lim_{ \to 0 } (cosx) ^{ \frac{1}{ x^{2} } } = e ^{ \frac{1}{x ^{2} }lncosx } =

\lim_{ \to 0 } \frac{1}{x ^{2} }lncosx = \infty \cdot ln1 = \infty \cdot 0 =}\)

i nie wiem jak dokończyć tą drugą granice.

Proszę o sprawdzenie.

[Alister]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{lncosx}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{-sinx}{cosx} }{2x} = \lim_{ x\to 0} \frac{-sinx}{cosx2x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{-cosx}{2cosx - 2xsinx} = - \frac{1}{2}}\) - po dwukrotnym zastosowaniu de l'hospitala, zauważ że to są granice 0/0

zatem szukana granica to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (cosx)^{ \frac{1}{x^{2}} } = \frac{1}{ \sqrt{e} }}\)

[wiatrwproszku]

A ta pierwsza granica jest policzona dobrze?