Granica ciągu - błąd w odp?

[R33]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 1+\frac{1}{4} + \frac{1}{16} ... \frac{1}{4 ^{n-1} } }{4}}\)
Licznik to ciąg geometryczny to robię go wzorem na sumę ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ 1+\frac{1 \cdot \frac{1}{4}^{n}}{1 \cdot \frac{1}{4}}}\) no i wychodzi mi 1 czyli odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , a w książce jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[szw1710]

Stosujesz zły wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

[R33]

A jeszcze pytanie bo już nie będę nowego tematu zakładał:
Do takiego ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}+1} + \frac{1}{n^{2}+2} + \frac{1}{n^{2}+3} + ... + \frac{1}{n^{2}+n}}\) to wzór jak powinien wyglądać? \(\displaystyle{ n={n^{2}+n}}\), a \(\displaystyle{ q=\frac{1}{n^{2}+n}}\) czy q to też ma być jakaś suma ciągu tylko, że arytmetycznego?

[mathiu11]

Nie jest arytmetyczny, ani geometryczny. Rozwiąż korzystając z zasady o trzech ciągach.

[R33]

Ale tu nie mam podanej określonej ilości wyrazów.

[Dasio11]

Każdy z \(\displaystyle{ n}\) czynników jest mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}.}\) Ich suma więc...

[R33]

Będzie mniejsza od sumy n \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}}\)?

[Dasio11]

Czyli od ilu?

[R33]

Od 0?

[Dasio11]

Nie. Ile wynosi suma \(\displaystyle{ n}\) wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}?}\)

[R33]

\(\displaystyle{ \frac{n(1+ \frac{1}{n^{2}})}{2}}\) czyli zmierza do nieskończoności?

[Dasio11]

Pomyśl. Na imprezę przyszło 17 studentów, z których każdy wypił nie więcej niż 0.7 litra wódki. Ile co najwyżej litrów wódki zostało wypite na tej imprezie?

[R33]

17*0,7 l.

No to sumę ciągu obliczyłem przecież.

[Dasio11]

No nie.
Analogicznie, suma \(\displaystyle{ n}\) składników, z których każdy jest nie większy od \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2},}\) jest co najwyżej równa \(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}.}\)

[R33]

A suma tych nie mniejszych?