dzielniki zera

[amave]

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak postępować w przypadku takim jak poniżej? Na ćwiczeniach robiliśmy zadania z dzielnikami zera, ale tylko na macierzach,a tutaj nawet nie wiem w co ręce włożyć.

Czy w pierścieniu \(\displaystyle{ (P,+, \cdot )}\), gdzie \(\displaystyle{ P=\left\{ f:(0,1) \rightarrow R\right\}}\) funkcje \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases}0 , x \in \left(0, \frac{1}{4} \right] \\ 1,x \in \left(\frac{1}{4}, 1 \right] \end{cases}}\), \(\displaystyle{ g\left( x\right) =x+1}\), \(\displaystyle{ h\left( x\right)=x- \frac{1}{2}}\) są dzielnikami zera?

[Piotr Dyszewski]

Czy funkcje z pierścienia \(\displaystyle{ P}\) są ciągłe?

[szw1710]

W pierścieniach funkcyjnych aż roi się od dzielników zera. To nawet prostsze niż w "normalnych" pierścieniach. Tutaj trywialnie funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dzielnikiem zera, gdyż wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ f_1(x)=1-f(x)}\) (tzn. \(\displaystyle{ f_1(x)=0\iff f(x)=1}\) oraz \(\displaystyle{ f_1(x)=1\iff f(x)=0}\)) i otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)f_1(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in(0,1).}\)

Funkcja \(\displaystyle{ h}\) też jest dzielnikiem zera: przyjmujemy \(\displaystyle{ h_1(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ h_1(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}.}\)

Jak widać, aby funkcja (niezerowa) była dzielnikiem zera, wystarczy, aby miała choć jedno miejsce zerowe. To nawet WKW. Funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie ma miejsc zerowych (w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\)), a zatem nie znajdziemy funkcji \(\displaystyle{ g_1}\) niezerowej takiej, że \(\displaystyle{ g(x)g_1(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x.}\)

Piotr Dyszewski, Jak widzisz, nie. Pierścień wszystkich funkcji. Zobacz na \(\displaystyle{ f}\).

[amave]

nie przypuszczałam, że to takie łatwe
dziękuję bardzo za pomoc

edit: a w jaki sposób można pokazać, że \(\displaystyle{ g\left( x\right) =x+1}\) jest odwracalne?

[szw1710]

\(\displaystyle{ g_1(x)=\frac{1}{x+1}}\)

Działa, bo ma sens w \(\displaystyle{ (0,1).}\)

[amave]

dziękuję
na studiach to tylko te skomplikowane rzeczy tłumaczą, tych łatwych już nie, bo to przecież "oczywiste"

[szw1710]

Mi to tłumaczyli i sam się dziwiłem w podobny sposób