Wyznacz dziedzinę

korn140 · Post autor: **korn140** » 1 lut 2012, o 13:45

Witam

Mam problem z wyznaczeniem dziedziny.

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{arcsin \frac{x-3}{2} - log(9 - x^{2}) }{ \sqrt{x-5} }}\)

Proszę o pomoc.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 1 lut 2012, o 13:50

Sprawdzasz koniunkcję warunków:
\(\displaystyle{ -1\le\frac{x-3}{2}\le1\wedge 9-x^2>0\wedge x-5>0}\)
co daje
\(\displaystyle{ 1\le x\le5\wedge -3<x<3\wedge x>5}\)
co daje zbiór pusty (chyba masz jakiś błąd w treści zadania).

korn140 · Post autor: **korn140** » 1 lut 2012, o 13:57

A jak mogę stwierdzić, że to co Ci wyszło to zbiór pusty?

Charles90 · Post autor: **Charles90** » 1 lut 2012, o 14:00

Poprzez rozwiązanie tych nierówności i znalezienie ich części wspólnej (w tym przypadku ich braku).

korn140 · Post autor: **korn140** » 1 lut 2012, o 14:07

Wychodzi, że:

\(\displaystyle{ x \le 5, x > 3, x > 5}\)

Które to są części wspólne?

chris_f · Post autor: **chris_f** » 1 lut 2012, o 14:11

Zaznacz te nierówności na osi liczbowej i szukaj takich \(\displaystyle{ x}\) które spełniają jednocześnie wszystkie trzy.
Poza tym skąd tam Ci się wzięło \(\displaystyle{ x>3}\)? I dlaczego zniknęło \(\displaystyle{ 1\le x}\)? W tych nierównościach które napisałem, już nic nie trzeba zmieniać.

korn140 · Post autor: **korn140** » 1 lut 2012, o 14:19

Rozumiem.

Jeszcze jedno pytanie dlaczego arcsin zapisałeś w ten sposób?

\(\displaystyle{ -1\le\frac{x-3}{2}\le1}\)

chris_f · Post autor: **chris_f** » 1 lut 2012, o 14:22

Ponieważ dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \arcsin x}\) jest przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\) (bo zbiorem wartości sinusa jest taki przedział), czyli to co jest pod funkcja arcus sinus musi być z takiego przedziału, czyli spełniać te nierówności.