granica ciagu

[kijankap]

Oblicz granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (\frac{n+2}{n-3}) ^{n}}\)

Moje rozwiazanie:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (\frac{n+2}{n-3}) ^{n} = \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n-3}{n-3} +\frac{5}{n-3}) ^{n} = \lim_{ n\to \infty } (1+\frac{5}{n-3}) ^{n} = \lim_{ n\to \infty } (1+ \frac{5}{n}) ^{n} = e^{5}}\)

Czy takie rozwiazanie jest poprawne?

[piasek101]

Nie.
Pod koniec wyparowało Ci (-3) z mianownika.

[kijankap]

Ale jezeli n dazy do nieskonczonosci to nie jest tak, ze -3 mozna pominac poniewaz przy wiekszych liczbach nie wnosi to wiekszej roznicy? 5/(1000000000 - 3) to praktycznie tyle samo co 5/(1000000000)

[piasek101]

Nie można pomijać - bo to błąd.

Zobacz, że nie pomijałeś na początku (a wg Ciebie można).

[kijankap]

Nie usuwalem poniewaz mialbym symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (1 + \frac{1}{ \frac{n-3}{5} })^n = \lim_{ n\to \infty } [(1 + \frac{1}{ \frac{n-3}{5}})^\frac{n-3}{5}] ^ \frac{5n}{n-3} = \lim_{ n\to \infty } e^ \frac{5n}{n-3} = e^5}\)

Wynik i w jednym i w drugim wypadku wychodzi taki sam wiec dlaczego moj pierwszy sposob byl bledny?

[Dasio11]

Bo przejście było nieuzasadnione. Wszystko, z czego nie możesz się formalnie wytłumaczyć, domyślnie jest błędem.
Dlatego drugie rozwiązanie również nie jest poprawne.
Mianowicie, równość

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{ \frac{n-3}{5}} \right) ^\frac{n-3}{5} \right] ^ \frac{5n}{n-3} = \lim_{n \to \infty } e^{\frac{5n}{n-3}},}\)

choć prawdziwa, jest nieuzasadniona.

[piasek101]

Nie usuwalem poniewaz mialbym symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\)

Jak usunąłeś na końcu też go miałeś.

To, że wynik masz taki jak powinien wyjść nie oznacza poprawności metody.

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{ \frac{n-3}{5}} \right) ^\frac{n-3}{5} \right] ^ \frac{5n}{n-3} = e^{\lim_{n \to \infty }{\frac{5n}{n-3}}}}\)