Wyznacz pole równoległoboku

[marcinek16marcin]

Wyznaczyć pole równoległoboku kiedy ma się podane cztery punkty w przestrzeni. To jest jak pole trójką w przestrzeni tylko bez 1/2?

[MichalPWr]

Robisz z dwa wektory wychodzące z tego samego punktu liczysz ich iloczyn wektorowy i to jest pole.
Przepraszam za pomyłkę, za dużo się dzisiaj tego naliczyłem....

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \mu_2(R)=\sqrt{W(\alpha_1,\alpha_2)}}\), gdzie \(\displaystyle{ W(\alpha_1,\alpha_2)}\) oznacza wyznacznik Grama.

[marcinek16marcin]

a czemu przez \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)? a iloczyn trzech wektorów to tak normalnie z wyznacznika?

[Majeskas]

Z tych 4 punktów robisz sobie 3 np\(\displaystyle{ \vec{BA};\vec{CA} ;\vec{DA}}\) wektory z tego samego punktu i potem liczysz iloczyn wektorowy i mnożysz to przez \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

W ten sposób można obliczyć objętość trójwymiarowego sympleksu, czyli ostrosłupa rozpiętego na czterech punktach, a nie dwuwymiarowego równoległoboku rozpiętego na czterech punktach.

[marcinek16marcin]

A jeśli nie znam wyznacznika 'Grama'?

[MichalPWr]

Fakt pomyliło mi się... Poprawiam.

[Majeskas]

To go poznaj

\(\displaystyle{ G(\alpha_1,\alpha_2)=\left[ \begin{array}{cc}\left\langle \alpha_1,\alpha_1\right\rangle&\left\langle \alpha_1,\alpha_2\right\rangle\\\left\langle \alpha_2,\alpha_1\right\rangle&\left\langle \alpha_2,\alpha_2\right\rangle\end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ W(\alpha_1,\alpha_2)\stackrel{\textrm{ozn.}}{=}\det G(\alpha_1,\alpha_2)}\)

[marcinek16marcin]

Nie przerabiałem tego. Gdybym miał np: \(\displaystyle{ A(1,1,1),B(0,1,3),C(2,3,4),D(3,1,2)}\), to jak to zapisać?

[MichalPWr]

a czemu przez ? a iloczyn trzech wektorów to tak normalnie z wyznacznika?

To co napisałem było wzorem na objętość czworościanu. Poprawiłem się już

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \left\langle \alpha,\beta\right\rangle}\) oznacza tutaj standardowy iloczyn skalarny.

\(\displaystyle{ \left\langle \left[ x_1,x_2,\ldots,x_n\right],\left[ y_1,y_2,\ldots,y_n\right] \right\rangle=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}\)

[MichalPWr]

Zapodam ci taki przykład
Mamy 4 Punkty ale napiszę 3 bo więcej nie będzie trzeba
\(\displaystyle{ \vec{A}=\left[ 1;2;3\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{B}=\left[ 3;6;5\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{C}=\left[ -1;2;-3\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BA}=\left[ 2;4;2\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA}=\left[ -2;0;-6\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{BA} \times \vec{CA}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&4&2\\-2&0&-6\end{array}\right|=P}\)

[Majeskas]

Wybieramy sobie któryś punkt, np. \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\left[ -1,0,2\right]}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AD}=\left[ 2,0,1\right]}\)

\(\displaystyle{ G\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\left[ \begin{array}{cc}\left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right\rangle&\left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right\rangle\\\left\langle \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}\right\rangle&\left\langle \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD}\right\rangle\end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \mu_2\left(R\left(A;\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}\right)\right)=\sqrt{W\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)}}\)-- 1 lutego 2012, 00:01 --

\(\displaystyle{ \vec{BA} \times \vec{CA}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&4&2\\-2&0&-6\end{array}\right|=P}\)

Iloczyn wektorowy jest wektorem, więc jeśli już, to tak:

\(\displaystyle{ \left\lVert\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{CA}\right\rVert=P}\)