Rzut wektorów na przestrzeń rozpiętą wielomianami

[novaline]

W przestrzeni wielomianów st co najwyżej 2 znajdź rzut wektora \(\displaystyle{ w=x^2}\) na podprzestrzeń rozpiętą wielomianami: \(\displaystyle{ v_1=x+1}\) i \(\displaystyle{ v_2=x-1}\) , zakładając iloczyn skalarny:

\(\displaystyle{ f \odot g :=\int_{0}^{1} f(x)g(x)dx}\)

Proszę o pomoc, jak zacząć takie zadanie??

[szw1710]

Jest twierdzenie o rzucie ortogonalnym na domkniętą podprzestrzeń przestrzeni Hilberta i tam podany jest wzór na rzut. NIe pamiętam, więc odsyłam do książki. Znając wzór reszta jest prosta. Wystarczy obliczyć proste całki.

Należy wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ a,b}\), dla których funkcja dwóch zmiennych

\(\displaystyle{ F(a,b)=\int_0^1\bigl(x^2-a(x+1)-b(x-1)\bigr)^2\,\text{d}x.}\)

osiąga minimum. Niech to będą \(\displaystyle{ a_0,b_0.}\)

Szukanym rzutem jest taka funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a_0(x+1)+b_0(x-1).}\)

Według moich obliczeń mamy \(\displaystyle{ a_0=\frac{5}{12},\;b_0=\frac{7}{12}}\), a zatem szukany rzut to funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x-\frac{1}{6}.}\)

[novaline]

a skąd mam pewność że rzut jest ortogonalny?

[szw1710]

To mówi twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Zobacz w Wikipedii. Jest tam i to dobrze. Rozpisałem jego zastosowanie w poprawionym poprzednim poście. Ale nie od Adama i Ewy. Musisz to dobrze rozczytać i dopasować do postaci iloczynu skalarnego. Norma to pierwiastek z iloczynu skalarnego funkcji przez siebie, a więc kwadrat normy (wystarczy go minimalizować) to

\(\displaystyle{ \|g\|^2=\int_0^2g^2(x)\,\text{d}x.}\)