Proste całki - metoda podstawiania, problem

[pierre]

Hej, mam problem z rozwiązaniem kilku prostych całek metodą podstawiania - wydaje mi się że rozwiązuje je dobrze, ale w odpowiedziach do zadań wychodzą inne (czasem podobne) wyniki. Jeżeli ktoś mógłby mi je pomóc rozwiązac krok po kroku, byłbym bardzo wdzięczny

1) \(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} }dx}\) wynik ma byc \(\displaystyle{ \frac{3}{5}(x-4) \sqrt[3]{ (x+1)^{2} }}\)

2) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^{2}dx}{ \sqrt[5]{x^{3}+1} }}\) wynik : \(\displaystyle{ \frac{5}{12} \sqrt[5]{(x^{3}+1)^{4}}}\) wychodzi mi podobnie, tylko że \(\displaystyle{ \frac{5}{36}}\) ;/

3) \(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-3x+1}dx}\) wynik : \(\displaystyle{ - \frac{e^{1-3x}}{3}+C}\), mi wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{3e^{3x+1}}+C}\)

4) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x}}{x^{2}}dx}\) wynik : \(\displaystyle{ -e^{ \frac{1}{x}}\), tutaj nie wiem jak podstawic

5) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}dx}\) wynik : \(\displaystyle{ arctg e^{x}}\)

Z góry dziękuje za pomoc, niedługo mam poprawkę

[Nakahed90]

Pokaż swoje rozwiązanie wtedy je sprawdzimy.

[pierre]

Ok, więc tak :

1) w pierwszym podstawiam\(\displaystyle{ t=x+1}\) więc\(\displaystyle{ dt = dx}\)a następnie rozbijam całke na \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x}{t^{ \frac{1}{3}} } dt - \int_{}^{} \frac{1}{t^{ \frac{1}{3}} } dt}\) i tutaj pojawia się problem, bo druga całka wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\) a z tą pierwszą z x-em w liczniku nie wiem co zrobic...

2) W tej całce chyba coś źle robię z podstawieniem, bo podstawiam\(\displaystyle{ t = x^{3}+1
dt = 3xdx
xdx = \frac{1}{3}dt}\)
z tym że w liczniku mamy\(\displaystyle{ x^{2}dx}\) , więc pomyślałem że zrobię z tego
\(\displaystyle{ x^{2}dx= \frac{1}{9}dt}\) rozumiem że tak nie można?
Sam wynik wychodzi mi dobrze, tylko w odpowiedziach jest tak jakby\(\displaystyle{ x^{2}dx= \frac{1}{3}dt}\) i nie wiem jak oni to zrobili

3) podstawiam :
\(\displaystyle{ t = -3x+1
dt = -3dx
dx = - \frac{1}{3}dt}\)
i dalej :

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{t}-\frac{1}{3}dt = -\frac{1}{3}\int_{}^{}e^{t}dt = -\frac{1}{3}e^{-3x+1}+C = -\frac{1}{3e^{3x+1}}+C}\)
4) edit : 4 udało mi się rozwiązac, miałem błąd w zapisie

5) w tym przykładzie nie wiem co podstawic, żeby wyszło \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t^{2}+1}}\)

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 1)x-1=x+1-2}\)
\(\displaystyle{ 2)t=x^{3}+1 \Rightarrow dt=3x^{2}dx}\)
3)w zapisie minus zgubiłeś, przy ostatnim przejściu
5)pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^{x}}\) i podstaw następnie \(\displaystyle{ e^{x}=t}\)

[Mariusz M]

Ja proponowałbym podstawienia

1.
\(\displaystyle{ t^3=x+1}\)

2.
\(\displaystyle{ t^5=x^3+1}\)

3.
\(\displaystyle{ t=-3x+1}\)

4.
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

Chyba źle przepisałeś ponieważ całkując przez części
wychodzi nieelementarna (Ei(x)) exponential integral

5.
Zamienić funkcję podcałkową na
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cosh{t}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cosh{t}}= \frac{1}{2} \cdot \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}}}\)

i podstawienie \(\displaystyle{ t=\sinh{x}}\)

Można też podstawić \(\displaystyle{ t=e^{x}}\)

[pierre]

\(\displaystyle{ 1)x-1=x+1-2}\)
\(\displaystyle{ 2)t=x^{3}+1 \Rightarrow dt=3x^{2}dx}\)
3)w zapisie minus zgubiłeś, przy ostatnim przejściu
5)pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^{x}}\) i podstaw następnie \(\displaystyle{ e^{x}=t}\)

1) podstawiam :
\(\displaystyle{ t = x+1
dt = dx}\)

czyli :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x+1-2}{(x+1)^{\frac{1}{3}} } dx = \int_{}^{} \frac{t-2}{t^{ \frac{1}{3}} }dt = \int_{}^{} \frac{t}{t^ {\frac{1}{3}} }dt - 2 \int_{}^{} \frac{dt}{t^{ \frac{1}{3}} } = \int_{}^{} t^{ \frac{2}{3}}dt - 2 \int_{}^{} t^{- \frac{1}{3}}dt = \frac{3}{5} \sqrt[3]{(x+1)^{5}} - 3 \sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\)
znowu coś źle zrobiłem? bo nie wiem skąd to \(\displaystyle{ (x+4)}\) w prawidłowej odpowiedzi...

2) głupi błąd, sorry wyszło dobrze
3) faktycznie, ale czemu w dobrej odpowiedzi jest w liczniku \(\displaystyle{ e^{1-3x}}\) ?
5) wyszło, dzięki

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \frac{1}{e^{-3x+1}}=(e^{-3x+1})^{-1}=e^{3x-1}}\)

Wyciągnij \(\displaystyle{ (x+1)^{\frac{2}{3}}}\) przed nawias i otrzymasz wynik z odpowiedzi.

[pierre]

Ok, dziękuje. Pomógłbyś jeszcze z tym przykładem :

6) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2^{x}dx}{ \sqrt{1-4^{x}} }}\)

Podstawiam :
\(\displaystyle{ t = 2^{x}
dt = 2^{x}ln 2}\)
I wychodzi mi :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{ln2 \sqrt{1-2t} }}\)

Jak z tego otrzymac \(\displaystyle{ arc sin}\)?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 4^{x}=t^{2}}\)

[pierre]

Ok, dziękuje, można zamknąc temat