Wspólna styczna wykresów funkcji

[Kamulec]

Wyznaczyć równanie prostej będącą wspólną styczną wykresów
\(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)
\(\displaystyle{ g(x) = (x-2)^2+4}\)

Umiem policzyć pochodne
\(\displaystyle{ f'(x) = 2x}\)
\(\displaystyle{ g'(x) = 2(x-2)}\)
i wyznaczyć styczne do poszczególnych wykresów
\(\displaystyle{ y_f = 2x_0(x-x_0)+x_0^2}\)
\(\displaystyle{ y_g = 2(x_0-2)(x-x_0)+(x_0-2)^2+4}\)
Jak znaleźć wspólną styczną?

[JankoS]

Wspólna styczna (jeżeli istnieje) ma współczynnik kierunkowy spełniający równanie \(\displaystyle{ f'(x)=g'(x)}\). Pozostaje jeszcze pokazać, że nie istnieje teź styczna postaci \(\displaystyle{ y=m}\).

[Kamulec]

Czyli rozwiązanie może wyglądać tak?

\(\displaystyle{ f'(x) = g'(x) \Rightarrow 2x_0 = 2(x_0-2)}\)
\(\displaystyle{ 2x_0 = 2x_0-4}\)
\(\displaystyle{ 4 = 0}\) sprzeczność
Nie istnieje prosta będąca wspólną styczna wykresów tych funkcji.

[JankoS]

No i jeszcze pierwsza z funkcji ma styczną poziomą \(\displaystyle{ y=0}\), druga \(\displaystyle{ y=4}\).

[Kamulec]

Tak, ale o to nie było pytania w zadaniu. W każdym razie dziękuję.