Grupa ilorazowa cykliczna

[fanch]

Jak pokazać, że gdy:
\(\displaystyle{ G}\) -grupa skończona,
\(\displaystyle{ G/Z(G)}\) - cykiczna, to G jest abelowa ?

[tkrass]

Rozważ generator grupy \(\displaystyle{ G/Z(G)}\).

[fanch]

Wiem, że zbiór \(\displaystyle{ G/Z(G)=}\){\(\displaystyle{ aZ(G),a \in G}\) } jest takiej postaci. Generatorem będzie

\(\displaystyle{ <gZ(G)>}\), dla pewnego \(\displaystyle{ g \in G}\) ?

No i jak stąd dojść do tego ze G jest abelowa ?

Rozumiem, że elementami \(\displaystyle{ <gZ(G)>}\) są ga=ag (bo a jest z centrum) i zachodzi przemienność, ale jak stąd wynika , że to zachodzi dla każdych a,b z G ?

[tkrass]

No to teraz weź dowolne dwa elementy grupy \(\displaystyle{ G}\), zapisz je jako ten generator razy coś i pokaż, że \(\displaystyle{ xy=yx}\).

[fanch]

no właśnie nie wiem razy co ?

I mam jeszcze pytanie, czy z tego, że G/Z(G) jest cykliczna wynika to ze G jest cykliczna ?

[tkrass]

no właśnie nie wiem razy co ?

Razy coś z centrum.

I mam jeszcze pytanie, czy z tego, że G/Z(G) jest cykliczna wynika to ze G jest cykliczna ?

Oczywiście nie, wtedy dowolna grupa abelowa musiałaby być cykliczna.