Jak pokazać, że gdy:
\(\displaystyle{ G}\) -grupa skończona,
\(\displaystyle{ G/Z(G)}\) - cykiczna, to G jest abelowa ?
Grupa ilorazowa cykliczna
- fanch
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 82 razy
Grupa ilorazowa cykliczna
Wiem, że zbiór \(\displaystyle{ G/Z(G)=}\){\(\displaystyle{ aZ(G),a \in G}\) } jest takiej postaci. Generatorem będzie
\(\displaystyle{ <gZ(G)>}\), dla pewnego \(\displaystyle{ g \in G}\) ?
No i jak stąd dojść do tego ze G jest abelowa ?
Rozumiem, że elementami \(\displaystyle{ <gZ(G)>}\) są ga=ag (bo a jest z centrum) i zachodzi przemienność, ale jak stąd wynika , że to zachodzi dla każdych a,b z G ?
\(\displaystyle{ <gZ(G)>}\), dla pewnego \(\displaystyle{ g \in G}\) ?
No i jak stąd dojść do tego ze G jest abelowa ?
Rozumiem, że elementami \(\displaystyle{ <gZ(G)>}\) są ga=ag (bo a jest z centrum) i zachodzi przemienność, ale jak stąd wynika , że to zachodzi dla każdych a,b z G ?
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
Grupa ilorazowa cykliczna
No to teraz weź dowolne dwa elementy grupy \(\displaystyle{ G}\), zapisz je jako ten generator razy coś i pokaż, że \(\displaystyle{ xy=yx}\).
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
Grupa ilorazowa cykliczna
Razy coś z centrum.fanch pisze:no właśnie nie wiem razy co ?
Oczywiście nie, wtedy dowolna grupa abelowa musiałaby być cykliczna.fanch pisze:I mam jeszcze pytanie, czy z tego, że G/Z(G) jest cykliczna wynika to ze G jest cykliczna ?