Interpretacja całki z primem

[Dreando]

Witam,

mam problem z zinterpretowaniem poniższych całek. Konkretnie nie wiem, co znaczą i zmieniają primy przy nawiasach i różne położenie symbolu całki.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} ( \frac{x-1}{sinx} )' \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ (\int_{}^{} \frac{x-1}{sinx} \mbox{d}x)'}\)

mam nadzieje, że teraz już forma posta jest ok.

pozdrawiam i z góry dziękuję.

[Stork]

W pierwszej całke najpierw musisz policzyć pochodną funkcji "w całce" a następnie policzyć całkę z otrzymanej funkcji (zastanów się czy na pewno musisz liczyć).

W drugim zagadnieniu najpierw liczysz funkcję pierwotną dla całki a następnie ją różniczkujesz .

W obu przypadkach wyniki powinny być prawie identyczne

[loitzl9006]

Primy oznaczają pochodną, a w nawiasie jest funkcja, którą należy zróżniczkować. Najpierw wykonujemy działania w nawiasie, a więc w pierwszym przypadku najpierw różniczkujemy, potem całkujemy. Podstawiamy
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{\sin x} = f(x) \\ \left( \frac{x-1}{\sin x}\right) ' = f'(x) \\ \int f'(x) \mbox{d}x = f(x) + C}\)

Drugi przykład: najpierw całkujemy, potem różniczkujemy

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{\sin x} = f(x) \\ \int \frac{x-1}{\sin x} \mbox{d}x = F(x)+C}\)
gdzie \(\displaystyle{ F(x)}\) jest funkcją pierwotną \(\displaystyle{ f(x)}\)

\(\displaystyle{ \left( \int \frac{x-1}{\sin x} \mbox{d}x\right) ' = \left( F(x)+C \right)' = f(x)}\)
(pochodna sumy to suma pochodnych, pochodna z \(\displaystyle{ F(x)}\) to \(\displaystyle{ f(x)}\) , pochodna ze stałej \(\displaystyle{ C}\) równa się \(\displaystyle{ 0}\) ).

Wyniki z obu przypadków różnią się o stałą całkowania.

[Dreando]

dziękuję za naprowadzenie -- 29 sty 2012, o 11:45 --Jeszcze jakbyście mogli mi wytłumaczyć, jaka jest procedura opuszczenia wartości bezwzględnej w całce, to byłbym wniebowzięty

przykład
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left|sinx \right| \mbox{d}x}\)

[Inkwizytor]

Korzystasz z definicji wartości bezwzględnej. na przedziale na którym wnętrze jest nieujemne możesz opuścić wartość bezwzględną bez konsekwencji. A tam gdzie wnętrze jest ujemne musisz zmienić znak wnętrza na przeciwny przy opuszczaniu wartości bezwzględnej. Zatem musisz przedział całkowania rozbić na dwa mniejsze. Jakie to przedziały (wykres funkcji sinus się kłania)?

[Dreando]

Nie wiem jak to rozbić...

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ |W(x)|= \begin{cases} W(x) \ \ dla \ \ W(x) \ge 0 \\ -W(x) \ \ dla \ \ W(x) < 0 \end{cases}}\)