Zmiana kolejności całkowania

[wojtasss91]

Mam mały problem z określeniem granic całkowania w zadaniu:

Tylko zmienić kolejność całkowania:

\(\displaystyle{ \int_{2}^{2} dx \int_{4}^{x ^{4} } cos (xy) dy}\)



Zacząłem od namalowania wykresu
\(\displaystyle{ -2 \le x \le 2}\)
\(\displaystyle{ x ^{4} \le y \le 4}\)

czyli
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4}\)
\(\displaystyle{ y= x^{4}}\)

I tutaj pojawia się problem bo nie wiem jak to zamienić..
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} dy \int_{- \sqrt[4]{y} }^{ \sqrt[4]{y} }cos (xy) dx}\)
wyszło mi coś takiego - tylko nie wiem czy dobrze. W razie czego prosił bym o poprawienie i możliwe objaśnienie.

[Tomek_Z]

Proponuję najpierw drobną zmianę \(\displaystyle{ \int_{2}^{-1} dx \int_{4}^{x ^{4} } cos (xy) dy = - \int_{-1}^{2} dx \int_{4}^{x ^{4} } cos (xy) dy}\)

I teraz obszar to
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 2 \\ 4 \le y \le x^4}\).

[wojtasss91]

Źle przepisałem jednak jest tak jak mnie poprawiłeś. Czy dobrze rozwiązałem ten przykład ?

[Tomek_Z]

Masz zle rozwiązanie, bo napisaleś, że \(\displaystyle{ x ^{4} \le y \le 4}\) co nie jest prawdą. Popatrz na granice całkowania.

[wojtasss91]

Czyli będzie
\(\displaystyle{ -2 \le x \le 2}\)
\(\displaystyle{ 4 \le y \le x ^{4}}\)

i co dalej z tym zrobić ?