Operatory na przestrzeni Hilberta

[Tomasz Tkaczyk]

Mam problem z takim zadaniem:

Pokazać, że nie istnieją ograniczone operatory liniowe na przestrzeni Hilberta spełniające warunek \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to operator identycznościowy. Do zadania jest wskazówka, aby wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}}\).

Okazuje się, że \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\), ale nie wiem, jak z tej wskazówki skorzystać.

[Wasilewski]

Przykładamy obustronnie normę, skąd:
\(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\).

[Spektralny]

To wynika z klasycznego argumentu podanego przez Halmosa:

Ustalmy operator ograniczony \(\displaystyle{ Q}\) na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) (w zasadzie dowolna przestrzeń unormowana się nadaje). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \delta_Q\colon \mathcal{B}(\mathcal{H})\to \mathcal{B}(\mathcal{H})}\) operację przyporządkowania komutatora, tj.

\(\displaystyle{ \delta_Q(P)=QP-PQ}\).

Chcemy pokazać, że identyczność nie jest komutatorem. Bez straty ogólności możemy wykluczyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ \delta_P(Q)}\) jest elementem nilpotentnym. Wydaje się, że źle wyprowadziłeś wzór na komutator \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi \(\displaystyle{ P}\). W obecnej notacji przyjmuje on postać:

\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)

(jest to prawdziwy wzór, gdy \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) komutuje z \(\displaystyle{ P}\), co nam wystarczy).

Zauważ, że prawa strona Twojego wzoru nie zależała od \(\displaystyle{ Q}\) i była fałszywa np. dla \(\displaystyle{ n=2}\).

Na podstawie wskazówki wnioskujemy, że

\(\displaystyle{ n\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|=\|P^n Q - Q P^n\|\leqslant 2 \|P\|\|Q\|\|P^{n-1}\|}\).

Wynika stąd w szczególności, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|}{\|P^{n-1}\|}=0}\),

tj. \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) jest anihilatorem ciągu operatorów \(\displaystyle{ \left(\frac{P^{n-1}}{\|P^{n-1}\|}\right)_{n=1}^\infty}\), czyli jest topologicznym dzielnikiem zera.

Argument ten rozciąga się na elementy dowolnych algebr unormowanych z jedynką i znany jest pod nazwą twierdzenia Wignera.

PS. Fakt ten ma ciekawą interpretację w mechanice kwantowej, tj. jego lekka modyfikacja może służyć za matematyczne wysłowienie zasady nieoznaczoności:

Jeżeli

\(\displaystyle{ QP-PQ = -\hbar i I}\)

dla pewnych operatorów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), gdzie \(\displaystyle{ \hbar}\) to zredukowana stała Plancka, to co najmniej jeden z nich musi być nieograniczony.

[Tomasz Tkaczyk]

Wydaje się, że źle wyprowadziłeś wzór na komutator \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi \(\displaystyle{ P}\). W obecnej notacji przyjmuje on postać:

\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)

(prawa strona Twojego wzoru nie zależała od \(\displaystyle{ Q}\) i była fałszywa np. dla \(\displaystyle{ n=2}\)).

W tej notacji wyprowadziłem wzór na \(\displaystyle{ \delta_{Q^{n}}(P)}\). To chyba coś zmieni?

Dziękuję za te rozwiązania.

[Spektralny]

Twój wzór jest błędny, weź \(\displaystyle{ Q=I}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) dowolny niezerowy operator nienilpotentny.

[Tomasz Tkaczyk]

Przepraszam. Małe nieporozumienie. Moje rozumowanie jest następujące:

Załóżmy, że istnieją takie operatory \(\displaystyle{ P,Q}\) spełniające zależność \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\).

Zatem (tak jak pisaliście) \(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\), co świadczy o tym, że co najmniej jeden z operatorów \(\displaystyle{ P,Q}\) musi być nieograniczony.

[Spektralny]

Nie rozumiem skąd bierzesz równość po prawej.

[Tomasz Tkaczyk]

Nie rozumiem skąd bierzesz równość po prawej.

Z przekształceń, które wykonałem. Sprawdzałem kilka razy.

\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)

(jest to prawdziwy wzór, gdy \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) komutuje z \(\displaystyle{ P}\), co nam wystarczy).

Ze wzoru, który podałeś także to wynika, jeśli założymy \(\displaystyle{ \delta_{Q}(P)=I}\).

[Spektralny]

Ok.