dwusieczna trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 18:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 50 razy
dwusieczna trójkąta
Kiedy trójkąt jest równoramienny (kąt między bokami równoramiennymi jest \(\displaystyle{ 2 \alpha}\)) i \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{1}{2}}\)
Czyli, możesz wyliczyć sobie kąt.
Czyli, możesz wyliczyć sobie kąt.
Ostatnio zmieniony 9 sty 2012, o 07:27 przez mathiu11, łącznie zmieniany 1 raz.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
dwusieczna trójkąta
no ale nie tylko wtedy tak jest
takich trójkątów jest od groma i można to jakoś sparametryzować, może potem napiszę jak, jeśli ktoś jest ciekawy
takich trójkątów jest od groma i można to jakoś sparametryzować, może potem napiszę jak, jeśli ktoś jest ciekawy
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
dwusieczna trójkąta
\(\displaystyle{ d}\)- dwusieczna kąta A
\(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{bc[(b+c)^2-a^2]}}{b+c}}\)
czyli musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2-a^2]}}{b+c}=a}\)
powodzenia
\(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{bc[(b+c)^2-a^2]}}{b+c}}\)
czyli musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2-a^2]}}{b+c}=a}\)
powodzenia
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
dwusieczna trójkąta
Możesz spróbować w ten sposób:
Masz dany \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\) taki, że \(\displaystyle{ |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a}\) oraz "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ BC}\) jest kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\), "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ AC}\) kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \beta}\) oraz "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ AB}\) kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \gamma}\).
Aby obliczyć długość dwusiecznej kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) możesz postępować następująco:
Oznaczmy długość tej dwusiecznej przez \(\displaystyle{ |AD|}\) gdzie \(\displaystyle{ D \in BC}\),
Niech punkt \(\displaystyle{ D}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ |BD|=a-x}\) oraz \(\displaystyle{ |DC|=x}\)
Następnie kolejno wykonujesz następujące czynności:
\(\displaystyle{ 1.}\) Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie mamy (dla kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\)) \(\displaystyle{ \frac{c}{b}=\frac{a-x}{a}}\) - wyznaczasz stąd \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) Z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin B} \Leftrightarrow \sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a} \Leftrightarrow \sin^2 \beta =\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2} \Leftrightarrow -\sin^2 \beta =-\frac{b^2 \cdot \sin^2 \alpha }{a^2} \Leftrightarrow 1-\sin^2 \beta =-\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1 \Leftrightarrow \cos^2 \beta =-\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1 \Leftrightarrow \\ \cos \beta =-\sqrt{\frac{-b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1} \ \vee \cos \beta =\sqrt{\frac{-b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1}}\)
\(\displaystyle{ 3.}\) Przyrównujesz dwa wzory na pole trójkąta \(\displaystyle{ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{bc}{2} \cdot \sin \alpha}\) skąd wyznaczasz \(\displaystyle{ \sin \alpha}\)
gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)
Na koniec podstawiasz wyznaczone wartości do wzoru \(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{c^2+(a-x)^2-2c(a-x)\cos \beta}}\) tak aby wszystko było wyrażone jedynie od wartości \(\displaystyle{ a,b,c}\)
PS: Nigdy mnie to nie interesowało i nie znam najszybszego sposobu.
Masz dany \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\) taki, że \(\displaystyle{ |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a}\) oraz "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ BC}\) jest kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\), "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ AC}\) kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \beta}\) oraz "naprzeciwko" boku \(\displaystyle{ AB}\) kąt wewnętrzny o mierze \(\displaystyle{ \gamma}\).
Aby obliczyć długość dwusiecznej kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) możesz postępować następująco:
Oznaczmy długość tej dwusiecznej przez \(\displaystyle{ |AD|}\) gdzie \(\displaystyle{ D \in BC}\),
Niech punkt \(\displaystyle{ D}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ |BD|=a-x}\) oraz \(\displaystyle{ |DC|=x}\)
Następnie kolejno wykonujesz następujące czynności:
\(\displaystyle{ 1.}\) Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie mamy (dla kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\)) \(\displaystyle{ \frac{c}{b}=\frac{a-x}{a}}\) - wyznaczasz stąd \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) Z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin B} \Leftrightarrow \sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a} \Leftrightarrow \sin^2 \beta =\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2} \Leftrightarrow -\sin^2 \beta =-\frac{b^2 \cdot \sin^2 \alpha }{a^2} \Leftrightarrow 1-\sin^2 \beta =-\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1 \Leftrightarrow \cos^2 \beta =-\frac{b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1 \Leftrightarrow \\ \cos \beta =-\sqrt{\frac{-b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1} \ \vee \cos \beta =\sqrt{\frac{-b^2\sin^2 \alpha }{a^2}+1}}\)
\(\displaystyle{ 3.}\) Przyrównujesz dwa wzory na pole trójkąta \(\displaystyle{ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{bc}{2} \cdot \sin \alpha}\) skąd wyznaczasz \(\displaystyle{ \sin \alpha}\)
gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)
Na koniec podstawiasz wyznaczone wartości do wzoru \(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{c^2+(a-x)^2-2c(a-x)\cos \beta}}\) tak aby wszystko było wyrażone jedynie od wartości \(\displaystyle{ a,b,c}\)
PS: Nigdy mnie to nie interesowało i nie znam najszybszego sposobu.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
dwusieczna trójkąta
chyba najszybciej jest z twierdzenia Stewarta (które de facto jest zsumowaniem dwóch twierdzeń cosinusów) i do tego twierdzenie o dwusiecznej