Wykazać że Relacja jest RTR i wyznaczyć klasy abstrakcji

[Michas1415]

Witam czy relacja jest relacją typu równoważności:
\(\displaystyle{ x \rho y \in Par \times Par\\
x \rho y \Leftrightarrow 3 \mid x-y\\x,y \in Par\\Par=\mathbb{N}\ parzystych}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x \rho y \in Par \times Par}\)

Ta linijka nie ma sensu, chciałeś napisać raczej \(\displaystyle{ \rho \subseteq Par \times Par}\).

A poza tym, tak, \(\displaystyle{ \rho}\) jest relacją równoważności.

JK

[Michas1415]

Tak chciałem napisać \(\displaystyle{ \subseteq}\) zamiast \(\displaystyle{ \in}\)
Nie rozumiem dlaczego ta relacja jest relacją typu równoważności, wydaje mi się że ta relacja nie symetryczna ani przechodnia, proszę o wytłumaczenie.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego tak uważasz?

JK

[Michas1415]

Ponieważ warunek symetrii mówi że jeśli \(\displaystyle{ x \rho y}\) to \(\displaystyle{ y \rho x}\) a \(\displaystyle{ y-x}\) nie należy do "dziedziny" relacji to wydaje mi się że nie jest spełniony.

[Jan Kraszewski]

a \(\displaystyle{ y-x}\) nie należy do "dziedziny" relacji

A musi? Czym innym jest dziedzina relacji, a czym innym relacja. Jeśli \(\displaystyle{ 3|x-y}\), to z definicji podzielości istnieje \(\displaystyle{ k\in\mathbb Z}\) takie, że \(\displaystyle{ x-y=3k}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ y-x=-(x-y)=-3k=3\cdot(-k)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ -k\in\mathbb Z}\), więc \(\displaystyle{ 3|y-x}\).

JK

[Michas1415]

Bardzo dziękuję za wyprowadzenie mnie z błędu.