Operatory na przestrzeni Hilberta
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
Mam problem z takim zadaniem:
Pokazać, że nie istnieją ograniczone operatory liniowe na przestrzeni Hilberta spełniające warunek \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to operator identycznościowy. Do zadania jest wskazówka, aby wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}}\).
Okazuje się, że \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\), ale nie wiem, jak z tej wskazówki skorzystać.
Pokazać, że nie istnieją ograniczone operatory liniowe na przestrzeni Hilberta spełniające warunek \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to operator identycznościowy. Do zadania jest wskazówka, aby wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}}\).
Okazuje się, że \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\), ale nie wiem, jak z tej wskazówki skorzystać.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
Przykładamy obustronnie normę, skąd:
\(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\).
\(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\).
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
To wynika z klasycznego argumentu podanego przez Halmosa:
Ustalmy operator ograniczony \(\displaystyle{ Q}\) na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) (w zasadzie dowolna przestrzeń unormowana się nadaje). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \delta_Q\colon \mathcal{B}(\mathcal{H})\to \mathcal{B}(\mathcal{H})}\) operację przyporządkowania komutatora, tj.
\(\displaystyle{ \delta_Q(P)=QP-PQ}\).
Chcemy pokazać, że identyczność nie jest komutatorem. Bez straty ogólności możemy wykluczyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ \delta_P(Q)}\) jest elementem nilpotentnym. Wydaje się, że źle wyprowadziłeś wzór na komutator \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi \(\displaystyle{ P}\). W obecnej notacji przyjmuje on postać:
\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)
(jest to prawdziwy wzór, gdy \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) komutuje z \(\displaystyle{ P}\), co nam wystarczy).
Zauważ, że prawa strona Twojego wzoru nie zależała od \(\displaystyle{ Q}\) i była fałszywa np. dla \(\displaystyle{ n=2}\).
Na podstawie wskazówki wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ n\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|=\|P^n Q - Q P^n\|\leqslant 2 \|P\|\|Q\|\|P^{n-1}\|}\).
Wynika stąd w szczególności, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|}{\|P^{n-1}\|}=0}\),
tj. \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) jest anihilatorem ciągu operatorów \(\displaystyle{ \left(\frac{P^{n-1}}{\|P^{n-1}\|}\right)_{n=1}^\infty}\), czyli jest topologicznym dzielnikiem zera.
Argument ten rozciąga się na elementy dowolnych algebr unormowanych z jedynką i znany jest pod nazwą twierdzenia Wignera.
PS. Fakt ten ma ciekawą interpretację w mechanice kwantowej, tj. jego lekka modyfikacja może służyć za matematyczne wysłowienie zasady nieoznaczoności:
Jeżeli
\(\displaystyle{ QP-PQ = -\hbar i I}\)
dla pewnych operatorów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), gdzie \(\displaystyle{ \hbar}\) to zredukowana stała Plancka, to co najmniej jeden z nich musi być nieograniczony.
Ustalmy operator ograniczony \(\displaystyle{ Q}\) na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) (w zasadzie dowolna przestrzeń unormowana się nadaje). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \delta_Q\colon \mathcal{B}(\mathcal{H})\to \mathcal{B}(\mathcal{H})}\) operację przyporządkowania komutatora, tj.
\(\displaystyle{ \delta_Q(P)=QP-PQ}\).
Chcemy pokazać, że identyczność nie jest komutatorem. Bez straty ogólności możemy wykluczyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ \delta_P(Q)}\) jest elementem nilpotentnym. Wydaje się, że źle wyprowadziłeś wzór na komutator \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi \(\displaystyle{ P}\). W obecnej notacji przyjmuje on postać:
\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)
(jest to prawdziwy wzór, gdy \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) komutuje z \(\displaystyle{ P}\), co nam wystarczy).
Zauważ, że prawa strona Twojego wzoru nie zależała od \(\displaystyle{ Q}\) i była fałszywa np. dla \(\displaystyle{ n=2}\).
Na podstawie wskazówki wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ n\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|=\|P^n Q - Q P^n\|\leqslant 2 \|P\|\|Q\|\|P^{n-1}\|}\).
Wynika stąd w szczególności, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\|P^{n-1}\delta_Q(P)\|}{\|P^{n-1}\|}=0}\),
tj. \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) jest anihilatorem ciągu operatorów \(\displaystyle{ \left(\frac{P^{n-1}}{\|P^{n-1}\|}\right)_{n=1}^\infty}\), czyli jest topologicznym dzielnikiem zera.
Argument ten rozciąga się na elementy dowolnych algebr unormowanych z jedynką i znany jest pod nazwą twierdzenia Wignera.
PS. Fakt ten ma ciekawą interpretację w mechanice kwantowej, tj. jego lekka modyfikacja może służyć za matematyczne wysłowienie zasady nieoznaczoności:
Jeżeli
\(\displaystyle{ QP-PQ = -\hbar i I}\)
dla pewnych operatorów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), gdzie \(\displaystyle{ \hbar}\) to zredukowana stała Plancka, to co najmniej jeden z nich musi być nieograniczony.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2012, o 22:26 przez Spektralny, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
W tej notacji wyprowadziłem wzór na \(\displaystyle{ \delta_{Q^{n}}(P)}\). To chyba coś zmieni?Wydaje się, że źle wyprowadziłeś wzór na komutator \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi \(\displaystyle{ P}\). W obecnej notacji przyjmuje on postać:
\(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)
(prawa strona Twojego wzoru nie zależała od \(\displaystyle{ Q}\) i była fałszywa np. dla \(\displaystyle{ n=2}\)).
Dziękuję za te rozwiązania.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
Twój wzór jest błędny, weź \(\displaystyle{ Q=I}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) dowolny niezerowy operator nienilpotentny.
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
Przepraszam. Małe nieporozumienie. Moje rozumowanie jest następujące:
Załóżmy, że istnieją takie operatory \(\displaystyle{ P,Q}\) spełniające zależność \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\).
Zatem (tak jak pisaliście) \(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\), co świadczy o tym, że co najmniej jeden z operatorów \(\displaystyle{ P,Q}\) musi być nieograniczony.
Załóżmy, że istnieją takie operatory \(\displaystyle{ P,Q}\) spełniające zależność \(\displaystyle{ PQ-QP=I}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ P^{n}Q-QP^{n}=n\cdot P^{n-1}}\).
Zatem (tak jak pisaliście) \(\displaystyle{ 2 \|P\| \|Q\| \|P^{n-1}\| \ge \|P^{n}Q - QP^{n}\| = n \|P^{n-1}\|}\), co świadczy o tym, że co najmniej jeden z operatorów \(\displaystyle{ P,Q}\) musi być nieograniczony.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Operatory na przestrzeni Hilberta
Z przekształceń, które wykonałem. Sprawdzałem kilka razy.Spektralny pisze:Nie rozumiem skąd bierzesz równość po prawej.
Ze wzoru, który podałeś także to wynika, jeśli założymy \(\displaystyle{ \delta_{Q}(P)=I}\).Spektralny pisze: \(\displaystyle{ \delta_Q(P^n)=nP^{n-1}\delta_Q(P)}\)
(jest to prawdziwy wzór, gdy \(\displaystyle{ \delta_Q(P)}\) komutuje z \(\displaystyle{ P}\), co nam wystarczy).
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy