Zbieżność szeregu

[Kukis]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^2 + 2^n}{n+3^n}}\)

Liczyłem z d'Alemberta i po wykonaniu:
\(\displaystyle{ \frac{u_{n+1} }{ u_{n} }}\)
Zostało mi takie coś:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ n^3 + 2n^2 + n+2n \cdot 2^n + 3^n \cdot n^2 +2n \cdot 3^n + 3^n + 2 \cdot 2^n \cdot 3^n}{n^3+n^2+3n^2 \cdot 3^n+2^n \cdot n+2^n+3^n \cdot 2^n \cdot 3} = \frac{2}{3}}\)

Wniosek: szereg jest zbieżny. Prosiłbym o sprawdzenie poprawności, gdyż na przykład nie jestem pewien czy w ostatnim kroku mogę szukać granicy dzieląc wszystkie wyrazy przez

\(\displaystyle{ 2^{n}3^n}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ 2^n3^n\ne0}\), więc nie ma przeszkód.

Ale przyznam że sposobem wyliczenia tego mi zaimponowałeś. Ja bym nie potrafił tego bezbłędnie policzyć po wymnożeniu wszystkiego.

[Kukis]

Jakiś inny sposób? Próbowałem szacować na wiele z sposobów z kryterium porównawczego i nic nie wychodzi.

[luka52]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+ \infty } \frac{n^2 + 2^n}{n+3^n} < \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2^n + 2^n}{3^n} < +\infty}\)