Czy dla dowolnych zbiorów: zawieranie i dopełnienie.

[times]

Mam do pokazania, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzi:
\(\displaystyle{ \left( A \subseteq B\right) \wedge\left( A \subseteq C\right) \rightarrow A \subseteq \left( B \cap C\right)}\)

Robię to tak:
\(\displaystyle{ x\in \left( \left( A \subseteq B\right) \wedge \left( A \subseteq C\right) \right) =}\)
\(\displaystyle{ x\in \left( A \subseteq B \right) \wedge x\in \left( A \subseteq C \right) =}\)
\(\displaystyle{ \left( x \in A \rightarrow x \in B \right) \wedge \left( x \in A \rightarrow x \in C\right) =}\)
\(\displaystyle{ x \in A \wedge x \in B \wedge x \in C =}\)
\(\displaystyle{ x \in A \wedge x \in \left( B \cap C\right) =}\)
\(\displaystyle{ x \in A \subseteq \left( B \cap C\right)}\)

Na moje oko, nie pasuje mi przejście między 3 a 4 linijką, oraz 4 i 5. Nie wiem jak to zapisać poprawnie. Czy w ogóle kombinuję w dobrą stronę? Rozumiem co z czego wynika. Chodzi mi o to aby zapis był poprawny.

\(\displaystyle{ \left( A \cap C\right)^{c} =A^{c} \cup B ^{c}}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( A \cap C\right)^{c} = x \notin \left( A \cap C\right) = x \notin A \wedge x \notin B = x \in A ^{c} \wedge x \in B^{c} = x \in A^{c} \cup B ^{c}}\)
Wydaje mi sie poprawne, ale pewności nie mam.

Kolejna moją wątpliwość dotyczy znaków "przechodzenia". Czy w zadaniach tego typu \(\displaystyle{ =}\) znaczy tyle samo co , \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\), \(\displaystyle{ \equiv}\) ? Jeśli jest różnica, to na czym ona polega i kiedy stosuję się co?

Pozdrawiam:)

[miki999]

Na moje oko, nie pasuje mi przejście między 3 a 4 linijką

Na moje oko, to tu już początek nie pasuje.

\(\displaystyle{ x\in \left( \left( A \subseteq B\right) \wedge \left( A \subseteq C\right) \right) =}\)

Co to według Ciebie ma oznaczać?
Znaki równości też tu nie powinny występować.

A zadanie pierwsze można dowieść nie wprost i nie bawić się w rozpisywanie na pałę obu stron.

[balnior]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left( A \subseteq B\right) \wedge\left( A \subseteq C\right)}\)

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( A \subseteq B\right) \wedge\left( A \subseteq C\right)}\) to \(\displaystyle{ x \in B \wedge x \in C}\), a więc \(\displaystyle{ x \in B \cap C}\) czyli \(\displaystyle{ A \subseteq \left( B \cap C\right).}\)

[times]

Na moje oko, to tu już początek nie pasuje.

Tego się obawiałem. Nie mam pojęcia jak to poprawić.

\(\displaystyle{ x\in \left( \left( A \subseteq B\right) \wedge \left( A \subseteq C\right) \right) =}\)

Co to według Ciebie ma oznaczać?
Znaki równości też tu nie powinny występować.

No zazwyczaj pisało się, że x należy i tak dalej. Przyznaję się. Nie wiem jak to zrobić. Mam pomysł który okazał się być błędem. Dlatego piszę.

Jeśli nie znak równości to może implikacja?:)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left( A \subseteq B\right) \wedge\left( A \subseteq C\right)}\)

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( A \subseteq B\right) \wedge\left( A \subseteq C\right)}\) to \(\displaystyle{ x \in B \wedge x \in C}\), a więc \(\displaystyle{ x \in B \cap C}\) czyli \(\displaystyle{ A \subseteq \left( B \cap C\right).}\)

Dziękuję.
Mógłbyś to zapisać w bardziej formalny sposób? Nie jestem pewien czy taki zapis zostanie przyjęty, a wolę dmuchać na zimne.

[miki999]

Tylko jak to rozumiesz?
Tak: "Iks należy do A zawiera się B i A zawiera się w C"?
Bo dużego sensu to niestety nie ma.

[times]

Nie rozumiem tego. Nie miałem kompletnie pojęcia jak to zapisać. "Iks należy do A zawiera się B i A zawiera się w C" jest dla mnie bez sensu tak samo jak dla Ciebie, ale tak zapisałem - przyznaję. Widzę, że jest to źle. Przyznam się, że robię te zadania, niestety, schematycznie i nie zawsze wszystko rozumiem. Chyba lepiej coś naskrobać niż napisać "nie wiem jak to się robi, zróbcie za mnie" Napisałem tu to co uważałem, za najbardziej poprawne z rzeczy które mi w tamtej chwili przyszły do głowy:)

A drugi przykład, jest chociaż ok?

[miki999]

W drugim przykładzie nie wiem jaka jest relacja między \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ C}\).

Jak zrobić pierwsze napisał balnior .

[times]

Czyli nie da się pierwszego zapisać bardziej formalnie?

W drugim przykładzie \(\displaystyle{ ^{c}}\) oznacza dopełnienie.

A jaka jest różnica między \(\displaystyle{ =}\), \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\), \(\displaystyle{ \equiv}\)?

[miki999]

Czyli nie da się pierwszego zapisać bardziej formalnie?

Jest wystarczająco formalnie.

\(\displaystyle{ \left( A \cap C\right)^{c} =A^{c} \cup B ^{c}}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ A=\{1\},\, B=\{1\},\, C=\{0\}}\) nie jest to prawda.

[times]

Ajaj.. mój błąd tam powinno być:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right)^{c} =A^{c} \cup B ^{c}}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( A \cap B\right)^{c} = x \notin \left( A \cap B\right) = x \notin A \wedge x \notin B = x \in A ^{c} \wedge x \in B^{c} = x \in A^{c} \cup B ^{c}}\)

Cholera jasna. Bardzo przepraszam. Musiałem się walnąć przy kopiowaniu, spieszyłem się.

[miki999]

No to dalej zamiana \(\displaystyle{ =}\) na \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\).

\(\displaystyle{ x \notin \left( A \cap B\right) = x \notin A \wedge x \notin B}\)

To nie jest prawdą.

Lepiej zacznij:
\(\displaystyle{ x \in \left( A \cap B\right)^{c} \Leftrightarrow \neg x \in (A \cap B) \Leftrightarrow ...}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli nie da się pierwszego zapisać bardziej formalnie?

Jest wystarczająco formalnie.

Co więcej, próby większej formalizacji mogą ten dowód już tylko zepsuć...

JK

[times]

OK, łapię. Dzięki za pomoc:)