Granica ciągu

patrycjaaa92 · Post autor: **patrycjaaa92** » 25 sty 2012, o 13:43

Obliczyć granicę ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{7^n - 5^n}}\)

Proszę o rozwiązanie zadania lub jakieś wskazówki bo zupełnie nie wiem, od czego zacząć.

aalmond · Post autor: **aalmond** » 25 sty 2012, o 13:43

Zastosuj twierdzenie o 3 ciągach.
II sposób: wyłącz \(\displaystyle{ 7 ^{n}}\) przed nawias.

patrycjaaa92 · Post autor: **patrycjaaa92** » 25 sty 2012, o 13:58

przepraszam, mój błąd... tam pod pierwiastkiem jest minus. zrobiłam wyłączając \(\displaystyle{ 7^n}\) przed nawias i mi wyszło. ale czy da się z trzech ciągów jak jest minus? bo nie bardzo wiem jak to ograniczyć z dołu?

Post autor: **Chromosom** » 25 sty 2012, o 13:59

Nie wiadomo, w którym miejscu powinien być minus. Proszę odpowiednio zmodyfikować pierwszą wiadomość.

patrycjaaa92 · Post autor: **patrycjaaa92** » 25 sty 2012, o 14:01

poprawione

Post autor: **Chromosom** » 25 sty 2012, o 14:05

Zadanie można rozwiązać dwiema metodami. Piewszą z nich jest wyłączenie przed pierwistek \(\displaystyle{ 7^n}\); wtedy trzeba jednak korzystać z twierdzenia o granicy iloczynu i z ciągłości pierwiastka. Proponuję więc skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach - przykładowo: \(\displaystyle{ 5^n<\tfrac12\cdot7^n}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\).