grupa cykliczna

[magda09011]

Wykazac, ze \(\displaystyle{ Z_{2} /oplus Z_{6}}\) nie jest grupa cykliczna.
Bardzo proszę o wytłumaczenie.

[Ein]

Gdyby była cykliczna, to istniałby \(\displaystyle{ (a,b)\in\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_6}\) element rzędu \(\displaystyle{ 12}\). Na pewno \(\displaystyle{ a=1}\), bo gdyby \(\displaystyle{ a=0}\), to grupa generowana przez ten element \(\displaystyle{ \langle(a,b)\rangle=\langle(0,b)\rangle}\) miałaby rząd równy rzędowi elementu \(\displaystyle{ b\in\mathbb{Z}_6}\), czyli niewiększy niż \(\displaystyle{ 6}\). No to teraz zastanów się, czy jakiś element postaci \(\displaystyle{ (1,b)}\) może generować całą grupę (\(\displaystyle{ \equiv}\) mieć rząd równy \(\displaystyle{ 12}\)).

[magda09011]

jej, nie bardzo rozumiem co jest tu napisane...mozna jeszcze jasniej to wytłumaczyć? bardzo prosze-- 25 sty 2012, o 00:07 --elemnet jest generatorem gdy jego rzad jest równy rzedowi grupy, wiec b musiałoby być równe 12...

[Tomek_Z]

Ściślej, rząd \(\displaystyle{ b}\) musiałby być równy \(\displaystyle{ 12}\). Czy w grupie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_6}\) istnieje taki element?

[arek1357]

Poprawić posta

[magda09011]

nie, w grupie b nie istnieje taki element którego rzad byłby równy 12. Czyli nie jest to grupa cylkiczna.

[Ein]

Ściślej, rząd \(\displaystyle{ b}\) musiałby być równy \(\displaystyle{ 12}\).

Niezupełnie. Zauważ, że \(\displaystyle{ (1,b)+(1,b)=(0,2b)}\), więc tak naprawdę operujemy na 12 współrzędnych, choć rząd \(\displaystyle{ b}\) jest mniejszy niż \(\displaystyle{ 12}\). Ale właśnie z tego oraz z faktu, że drugim składnikiem sumy jest \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_6}\), a \(\displaystyle{ 6}\) jest parzyste, wynika, że gdy \(\displaystyle{ b}\) jest nieparzyste, nie wygenerujemy liczby postaci \(\displaystyle{ (1,k)}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le k\le 6}\) jest parzyste, oraz gdy \(\displaystyle{ b}\) jest parzyste, nie wygenerujemy liczby postaci \(\displaystyle{ (0,k)}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<k<6}\) jest nieparzyste. Stąd żaden element \(\displaystyle{ (1,b)}\) nie generuje całej \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_6}\).

[Tomek_Z]

Tak przy okazji, gdybyśmy chcielibyśmy uogólnić: jeśli \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) nie są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m}\) nie jest grupą cykliczną bo dla dowolnej pary \(\displaystyle{ \left\langle a, b \right\rangle \in \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m}\) mamy \(\displaystyle{ n|NWW(n,m)}\) oraz \(\displaystyle{ m|NWW(n,m)}\) (z definicji nww) zatem \(\displaystyle{ NWW(n,m)\left\langle a,b \right\rangle = \left\langle 0,0 \right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ NWW(n,m) < n \cdot m}\). Może być?

[magda09011]

dziękuje bardzo za wyczerupującą wypowiedz:)

-- 25 sty 2012, o 20:56 --

a czy móżna poprosić o jeszcze jedno wytłumaczenie dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 \oplus \mathbb{Z}}\)

[Ein]

Gdyby była cykliczna, to byłaby izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\). \(\displaystyle{ (1,0)\in\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}}\) i ma rząd \(\displaystyle{ 5}\). Ale w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 5}\).

[magda09011]

oj chyba nie potrafie dogłębnie tego zrozumieć, ale dziekuje za odpowiedz.

[MichTrz]

Gdyby była cykliczna, to byłaby izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

Można spytać dlaczego?

[Ein]

Każda nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

[MichTrz]

No tak, świadczy o tym izomorfizm, który przenosi jedynkę na generator owej nieskończonej grupy cyklicznej?

[Ein]

Tak.