Obraz i przeciwobraz obrazu

[Kamil_dobry]

Znaleźć obraz i przeciwobraz obrazu:
1) \(\displaystyle{ f(x)=\cos(x)}\), dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb R, A= \left[ \frac{- \pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right]}\)

\(\displaystyle{ f(A)=[0,1]\\
f^{-1} (f(A))=\left\{ \left[ \frac{- \pi }{2}+ \frac{3 \cdot k}{2} , \frac{\pi }{2}+ \frac{3 \cdot k}{2}\right], k \in \mathbb N\right\}}\)

2) \(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb N, A=[0, \infty ) \times [0, \infty )}\)

\(\displaystyle{ f(A)=[0, \infty )\\
f^{-1} (f(A))=?}\)

3) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2} -y^{2}}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb N, A=\left\{ (x,x): \ x \in \mathbb R\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ 0\right\} \\
f^{-1} (f(A))=A \ ?}\)

4) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2} +y^{2}}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb R, A=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : \ x \in (1,2) \wedge y \in (0,1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ (1,5)\right\} \\
f^{-1} (f(A))=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} :1<x^{2} +y^{2}<5\right\}}\)

5) \(\displaystyle{ f(n)=}\) suma pierwszych podzielników liczby \(\displaystyle{ n}\), dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N, A=\left\{ 4,6\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=?}\)
\(\displaystyle{ f^{-1} (f(A))=A}\) (bo różnowartościowa)

6) \(\displaystyle{ f(X)=\left\{ x \in \mathbb R: ( \bigvee y)(x,y) \in X \right\}}\) , dla \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}^{2}}\), \(\displaystyle{ A}\) jest rodziną wszystkich zbiorów jednoelementowych

\(\displaystyle{ f(A)=? \\
f^{-1} (f(A))=?}\)

[Jan Kraszewski]

Znaleźć obraz i przeciwobraz obrazu:
1) \(\displaystyle{ f(x)=\cos(x)}\), dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb R, A= \left[ \frac{- \pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right]}\)

\(\displaystyle{ f(A)=[0,1]\\
f^{-1} (f(A))=\left\{ \left[ \frac{- \pi }{2}+ \frac{3 \cdot k}{2} , \frac{\pi }{2}+ \frac{3 \cdot k}{2}\right], k \in \mathbb N\right\}}\)

Obraz dobrze, przeciwobraz - nie (zapis do niczego, jak poprawisz, można sprawdzić)

2) \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb N, A=[0, \infty ) \times [0, \infty )}\)

\(\displaystyle{ f(A)=[0, \infty )\\
f^{-1} (f(A))=?}\)

Źle, przecież argumenty są naturalne. Swoją drogą obraz powinien być liczony z podzbioru dziedziny, więc coś jest niezbyt w porządku.

3) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2} -y^{2}}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb N, A=\left\{ (x,x): \ x \in R\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ 0\right\} \\
f^{-1} (f(A))=A \ ?}\)

Uwaga formalna - jak wyżej. Poza tym dobrze.

4) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2} +y^{2}}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb R, A=\left\{ (x,y) \in R^{2} : \ x \in (1,2) \wedge y \in (0,1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ (1,5)\right\} \\
f^{-1} (f(A))=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} :1<x^{2} +y^{2}<5\right\}}\)

Obraz - źle, skąd wziąłeś jeden punkt? Tym bardziej, że przeciwobraz jest dobrze...

5) \(\displaystyle{ f(n)=}\) suma pierwszych podzielników liczby \(\displaystyle{ n}\), dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N, A=\left\{ 4,6\right\}}\)

\(\displaystyle{ f(A)=?}\)
\(\displaystyle{ f^{-1} (f(A))=A}\) (bo różnowartościowa)

Dlaczego uważasz, że ta funkcja jest różnowartościowa? Przecież \(\displaystyle{ f(2)=f(4)=2}\).

6) \(\displaystyle{ f(X)=\left\{ x \in \mathbb R: ( \bigvee y)(x,y) \in X \right\}}\) , dla \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}^{2}}\), \(\displaystyle{ A}\) jest rodziną wszystkich zbiorów jednoelementowych

\(\displaystyle{ f(A)=? \\
f^{-1} (f(A))=?}\)

Zrozum jak działa ta funkcja, wtedy będzie prosto.

JK