Dowieść izomorfizmu pierścieni.

[tometomek91]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[x]/ \langle x^2-2 \rangle}\) jest izomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) gdzie \(\displaystyle{ \langle x^2-2 \rangle}\) jest ideałem głównym generowanym przez wielomian \(\displaystyle{ x^2-2}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) jest pierścieniem liczb postaci \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Q}}\).

Dziękuję za pomoc.

[Tomek_Z]

Rozważ homomorfizm pierścieni \(\displaystyle{ f: \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f((W(x)) = W(\sqrt{2})}\) i zauważ, że \(\displaystyle{ kerf = \left\langle x^2-2 \right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ Imf=\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\).

[KasienkaG]

A mógłbyś jakoś bardziej rozpisać jak to zrobić?

[Tomek_Z]

Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem ewaluacji w punkcie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Łatwo pokazać, że jest na, zatem jest epimorfizmem. Znajdując jądro, skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ W(\sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow W(- \sqrt{2})=0}\).

Tak na marginesie, mając już te rzeczy, możemy wskazać dokładny wzór na izomorfizm. Mianowicie niech\(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{Q}[x]/ \langle x^2-2 \rangle \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) będzie określone wzorem \(\displaystyle{ \varphi(W(x)+I) = f(W(x))}\). Wtedy wzór na izomorfizm, to \(\displaystyle{ \varphi (ax+b+I) = f(ax+b) = a \sqrt{2} + b}\).

Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ I=\left\langle x^2 - 2\right\rangle}\).

[KasienkaG]

Dzięki, teraz wydaje się to dla mnie jaśniejsze!