ciągłość a zbiory otwarte

[Astat]

Udowodnić, że jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym.

Z drugiej strony: czy jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) przekształca każdy odcinek otwarty w odcinek otwarty, to musi być odwzorowaniem ciągłym?

[szw1710]

Udowodnić, że jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym.

... to funkcja jest ciągła.

To jest warunek równoważny ciągłości funkcji w przestrzeniach topologicznych. Dla funkcji \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) działającej pomiędzy przestrzeniami metrycznymi wystarczy po prostu rozpisać definicję ciągłości funkcji w dowolnie ustalonym punkcie.

[pipol]

Z drugiej strony: czy jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) przekształca każdy odcinek otwarty w odcinek otwarty, to musi być odwzorowaniem ciągłym?

Nie.
Funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1) \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 &\mbox{ dla } x=0\\1-x &\mbox{ dla } x\in (0,1)\end{cases}}\)
ma wspomnianą własność.

[asia1317]

a czy jeśli funkcja jest ciągła, to oznacza, że przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty?

[szw1710]

Odpowiedź jest tu już zapisana.

[asia1317]

skoro pytam, to widocznie to nie jest dla mnie takie oczywiste... widzę tylko implikację w drugą stronę - jeśli przekształca zbiory otwarte w otwarte, to jest ciągła.

[szw1710]

Odpowiedź znajdziesz w drugim poście w tym temacie. Co tam napisałem?

[asia1317]

jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym, to funkcja jest ciągła.

a ja pytam czy to działa w drugą stronę? bo tą definicję znam.

[szw1710]

To jest warunek równoważny ciągłości funkcji w przestrzeniach topologicznych. Dla funkcji \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) działającej pomiędzy przestrzeniami metrycznymi wystarczy po prostu rozpisać definicję ciągłości funkcji w dowolnie ustalonym punkcie.

Przecież to napisałem. Definiując ciągłość w sensie Heinego (lub Cauchy'ego) jako konsekwencję otrzymujemy twierdzenie, że obraz zbioru otwartego przez funkcję ciągłą jest otwarty. Z kolei z tego, że przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, wynika ciągłość pojmowana w sensie Heinego lub Cauchy'ego.

[asia1317]

no i o to mi chodziło. dzięki.