Granica ciągu-różnica pierwiastków.

[macias006]

Witam,

Proszę o pomoc w obliczeniu granicy ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}=\sin \sqrt{n+1} -\sin \sqrt{n-1}}\).
Do czego dąży nie było dane w zadaniu.

Myślałem ,aby pomnożyć i podzielić całość przez wyrażenie sprzężone, aczkolwiek nie wiem jak doprowadzić całość do ostatecznego wyniku.

Otrzymałem \(\displaystyle{ \lim \frac{ \left( \sin \sqrt{n+1} \right) ^{2}- \left( \sin \sqrt{n-1} \right) ^2}{\sin \sqrt{n+1}+\sin \sqrt{n-1}}}\).

Proszę o wskazówkę.

[Tmkk]

Ja bym proponował wzór na różnice sinusów a potem dopiero sprzężenie.

[Zimnx]

Z trzech ciagow wychodzi natychmiastowo.

[macias006]

czyli jeśli zachodzi:

\(\displaystyle{ b_{n} \le a _{n} \le c_{n}}\)

to granica ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)jest równa:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n =
\lim_{ \to \infty }a _{n}=g}\)

Czy w ten sposób można to zapisać? ile wynosi zatem granica ?
\(\displaystyle{ \sin \sqrt{n+1} \le \sin \sqrt{n+1} -\sin \sqrt{n-1} \le 2\sin \sqrt{n+1}}\)

A jeszcze mam pytanie: \(\displaystyle{ \lim \frac{(\sin \sqrt{n+1}) ^{2}-(\sin \sqrt{n-1})^2}{\sin \sqrt{n+1}+\sin \sqrt{n-1}}}\) Czy z tej postaci nie można niczego otrzymać ?

[Zimnx]

Funkcja sinus jaka moze przyjmowac najwieksza i najmniejsza wartosc?

[macias006]

\(\displaystyle{ Y= \left\langle -1 ; 1\right\rangle}\)

No dobrze czyli jak podstawie 1 to otrzymam \(\displaystyle{ 2\sin \sqrt{2}}\)?

[Zimnx]

Nie dziedzina a zbior wartosci, \(\displaystyle{ \max \sin(x) = 1}\) analogicznie \(\displaystyle{ \min}\) , wiec oszacuj od gory i od dolu nasz ciag.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ -2 \le \sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n-1} \le 2}\)

lepszego szacowania na teraz się nie uzyska, więc trzy ciągi nie pomogą.
Lepszym pomysłem jest wzór na różnicę sinusów.

[jerrson]

Po zastosowaniu wzoru i pomnożenia licznika i mianownika przez sprzężenie i oszacowanie cosinusa przez 1 a sinus przez argumenty z góry natychmiastowo wychodzi ułamek zbieżny do 0. A jak oszacować to z dołu?

[Dasio11]

Przez liczbę przeciwną do oszacowania górnego. Równie dobrze, możesz przez tę samą liczbę oszacować z góry moduł wyrażenia i to będzie odpowiadało szacowaniu z dwóch stron.