Ściagalność przestrzeni a pętle.

[pawels]

Czy w przestrzeni ściągalnej każda pętla jest homotopijna z pętla stałą?

Odpowiedź wydaje się być twierdząca- np składając homotopię łączącą identyczność z przekształceniem stałym, równym miejscu zaczepienia naszej pętli, z naszą pętla otrzymujemy o mało co homotopię pętli- nie mamy tylko pewności czy trzymane są końce...

[Ein]

Hmm... Masz może darmowego Hatchera? To jest Proposition 1.5 + komentarz przed tym.

[pawels]

Niestety dotychczas na podstawowym kursie topologii nie była mi potrzebna żadna literatura poza skryptem. Czy pamiętasz przynajmniej jaka była odpowiedź?

[Wasilewski]

Trzeba trochę poprawić tę homotopię ściągającą, żeby zachowywała punkt bazowy \(\displaystyle{ x_0}\). Przy tej homotopii punkt \(\displaystyle{ x_0}\) porusza się po pewnej pętli \(\displaystyle{ \alpha}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \alpha_{s}(t) = \alpha( \frac{t}{s})}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\); poruszamy się zatem pętlą \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko do czasu \(\displaystyle{ s}\). Pokażmy teraz jak ściągnąć pętlę \(\displaystyle{ \omega}\) do pętli stałej w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\), przy czym homotopię ściągającą przestrzeń oznaczamy przez \(\displaystyle{ H_{s}}\). Definiujemy homotopię:
\(\displaystyle{ \omega_{s} = \alpha_{s} * H_{s}(\omega) * \overline{\alpha_{s}}}\).
Idea jest bardzo prosta; najpierw podróżujemy do nowego punktu bazowego, potem idziemy ściąganą pętlą, a następnie wracamy do \(\displaystyle{ x_{0}}\).
Przy okazji: książka Hatchera jest dostępna na jego stronie internetowej.