Całka z funkcji trygonometrycznej

[frozzins]

Siema

Mam problem z policzeniem takiej całki. Niby wyglada mi na prosta ale nie moge znalesc zadnego podstawienia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin ^2(x)}}\)

Pozdrawiam

[Trok]

Całka z tego to \(\displaystyle{ -\ctg x+c}\)
To się raczej pamięta a nie liczy

[frozzins]

No tak Wolfram mówi to samo

Tylko wolfram używa \(\displaystyle{ \csc(x)}\). Czy znasz może jakiś inny sposób ? )

[Mariusz M]

frozzins, mozna rozpisac licznik korzystajac z jedynki trygonometrycznej i przez czesci

[entier]

W takich przypadkach polecam szukać zależności między kwadratami tangensa i cosinusa albo sinusa i cotangensa. Tutaj:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin ^2(x)}=\frac{1}{\cos ^2(x) \cdot \tg ^2(x)}}\)

Potem całkujemy przez podstawienie \(\displaystyle{ t=\tg x}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}{x}}}=\int{\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\sin^{2}{x}} \mbox{d}x }\\
=\int{\cos{x}\cdot\frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}+\int{ \mbox{d}x }\\
=-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}-\int{ \mbox{d}x }+\int{ \mbox{d}x }\\
=-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}+C}\)