Granica ciągu, całka, funkcja

[homerinio]

1) Oblicz granicę ciągu
\(\displaystyle{ \sqrt{3n} - \sqrt{3n+6}}\)

2) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale \(\displaystyle{ [-3, 3].}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2x^{3} -2x ^{2} -10x+10}\)

3) Oblicz całkę

\(\displaystyle{ \int \frac{x- \sqrt{x} }{x} dx}\)

[AdamL]

1) Oblicz granicę ciągu
\(\displaystyle{ \sqrt{3n} - \sqrt{3n+6}

2) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale [-3, 3].
f(x)= 2x^{3} -2x ^{2} -10x+10

3) Oblicz całkę

\int_{}^{} \frac{x- \sqrt{x} }{x} dx}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3n} - \sqrt{3n+6} = \frac{3n-3n+6}{ \sqrt{3n}+ \sqrt{3n+6} }\rightarrow 0}\)

drugie - policz pochodna

trzecie - całka różnicy = różnica calek, czyli policz całkę z 1 całkę z x^(-1/2) odejmij wynik i nie zapomnij o stałej.

[rodzyn7773]

1. Ze wzoru skróconego mnożenia mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{3n} - \sqrt{3n+6}= \frac{3n-(3n+6)}{\sqrt{3n} + \sqrt{3n+6}} = \frac{-6}{\sqrt{3n} + \sqrt{3n+6}} \rightarrow 0}\)

2. Szukamy najpierw ekstremów w przedziale \(\displaystyle{ (-3,3)}\) czyli liczymy miejsca zerowe pierwszej pochodnej.

\(\displaystyle{ f'(x)=6x^2-4x-10 \\ 6x^2-4x-10=0 \\ 3x^2-2x-5=0 \\ \\ x_1= \frac{2-8}{6} \ \ x_2= \frac{2+8}{6} \\ \\ x_1=-1 \ \ x_2= \frac{5}{3}}\)

Czyli mamy dwa punkty podejrzane o ekstremum. Liczymy teraz wartość funkcji w punktach podejrzanych o ekstremum i w końcach przedziałów określoności, czyli:

\(\displaystyle{ f(-1)=-2-2+10+10=16 \\ \\ f \left( \frac{5}{3} \right) =2 \cdot \frac{125}{27} -2 \cdot \frac{25}{9} -10 \cdot \frac{5}{3}+10= \frac{250-150-450}{27}+10= \frac{-350+270}{27} = \frac{-80}{27} =-2 \frac{26}{27} \\ \\ f(-3)=2 \cdot (-27)-2 \cdot 9-10 \cdot (-3)+10=-54-18+30+10=-32 \\ f(3)=2 \cdot 27-2 \cdot 9-10 \cdot 3+10=54-18-30+10=16}\)

I widzimy, że najmniejszą wartość funkcja osiąga w punkcie \(\displaystyle{ -3}\) i wynosi ona \(\displaystyle{ -32,}\) a wartość największą funkcja osiąga w punktach \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) i wynosi ona \(\displaystyle{ 16.}\)

3. \(\displaystyle{ \int \frac{x- \sqrt{x} }{x} \mbox{d}x =\int \frac{x }{x} \mbox{d}x - \int \frac{\sqrt{x} }{x} \mbox{d}x= \int 1 \mbox{d}x - \int x^{- \frac{1}{2} } \mbox{d}x = x-2x^{ \frac{1}{2} } +C}\)