Witam, mam problem z zadaniem:
Dokonaj zamiany zmiennych:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2u}{\partial x^2}= \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}}\)
wykorzystując nowe zmienne:
\(\displaystyle{ \zeta=x+ay}\)
\(\displaystyle{ \eta=x-ay}\)
znam wzór, który teoretycznie powinno się stosować, ale nie wiem jak go użyć, mógłby ktoś łopatologicznie to rozpisać?
bardzo dziękuję
zamiana zmiennych
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
zamiana zmiennych
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\frac{ \partial \zeta}{ \partial x}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\frac{ \partial \eta}{ \partial x}=\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 u}{ \partial x^2}=\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\right)=\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)+\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\right)}\)
Pierwszy składnik jest równy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)=\frac{ \partial }{ \partial \zeta}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)\frac{ \partial \zeta}{ \partial x}+\frac{ \partial }{ \partial \eta}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)\frac{ \partial \eta}{ \partial x}=\frac{ \partial^2u }{ \partial \zeta^2}+\frac{ \partial^2u }{ \partial \eta \partial \zeta}}\)
Dla drugiego składnika analogicznie. Potem dla y. A potem tylko wstawiasz do równania i upraszczasz jeśli się da. Jeśli jest założenie o ciągłości pochodnych, to pochodne mieszane są sobie równe i to tez można wykorzystać przy upraszczaniu.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\frac{ \partial \zeta}{ \partial x}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\frac{ \partial \eta}{ \partial x}=\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 u}{ \partial x^2}=\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}+\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\right)=\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)+\frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \eta}\right)}\)
Pierwszy składnik jest równy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)=\frac{ \partial }{ \partial \zeta}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)\frac{ \partial \zeta}{ \partial x}+\frac{ \partial }{ \partial \eta}\left(\frac{ \partial u}{ \partial \zeta}\right)\frac{ \partial \eta}{ \partial x}=\frac{ \partial^2u }{ \partial \zeta^2}+\frac{ \partial^2u }{ \partial \eta \partial \zeta}}\)
Dla drugiego składnika analogicznie. Potem dla y. A potem tylko wstawiasz do równania i upraszczasz jeśli się da. Jeśli jest założenie o ciągłości pochodnych, to pochodne mieszane są sobie równe i to tez można wykorzystać przy upraszczaniu.
Pozdrawiam.