Witam, mam problem z zadaniami z granic ciągów. Nie wiem czy moje rozwiązania są poprawne.
1. Obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{2^n+3^n+4^n}}\)
Z trzech ciągów mi wyszło:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{4^n} \le \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{2^n+3^n+4^n} \le \lim_{x \to \infty } \sqrt[2n]{3*4^n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{4^n}=4^{n/2n} = 4^{1/2} = 2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{3*4^n}= \sqrt[2n]{3} * \sqrt[2n]{4 ^{n}}=1*2=2}\)
Moje działania są poprawne ?
2. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\frac{2}{n^2+sin2n} +\frac{4}{n^2+sin4n} +\frac{2n}{n^2+sin2n^2})}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{ \infty } =0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2n}{n^2+1} = \frac{1}{ \infty } =0}\)
Moje działania są poprawne ?
3. Dla jakich \(\displaystyle{ x \in (0, \infty)}\) prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^n+(1/x)^n} > 2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^n+(1/x)^n}= 2+ \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2+ \frac{1}{x}> 2 \Rightarrow \frac{1}{x}>0 \Rightarrow x \in(0; \infty)}\)
4. Obliczyć granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ \frac{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{n^2}}{2}*n }=\frac{2}{(1+ \sqrt[3]{n^2})*n}=\frac{2}{\infty}=0}\)
Zadania na granice ciągu
-
jarek1555
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 28 lis 2011, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Zadania na granice ciągu
Próbowałem wolframem, jednak wyszukiwarka nie sprawdzi poprawności moich działań, a zadania 3 w ogóle nie rozwiąże.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10307
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2431 razy
Zadania na granice ciągu
2. Dwie granice policzone poprawnie, ale na razie nic z nich nie wynika;
3. Źle, przecież
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + \left( \frac{1}{x} \right)^n} \neq 2+ \frac{1}{x}.}\)
Aby obliczyć tę granicę, zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.
4. Nie rozumiem, skąd pomysł liczenia granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{n^2}}{2} \cdot n }.}\)
Jeśli skorzystałeś ze wzoru na ciąg arytmetyczny, to źle, bo tu nie ma ciągu arytmetycznego. Tu przyda się raczej twierdzenie o dwóch ciągach, poparte szacowaniem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{n}{\sqrt[3]{n^2}}.}\)
3. Źle, przecież
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + \left( \frac{1}{x} \right)^n} \neq 2+ \frac{1}{x}.}\)
Aby obliczyć tę granicę, zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.
4. Nie rozumiem, skąd pomysł liczenia granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{n^2}}{2} \cdot n }.}\)
Jeśli skorzystałeś ze wzoru na ciąg arytmetyczny, to źle, bo tu nie ma ciągu arytmetycznego. Tu przyda się raczej twierdzenie o dwóch ciągach, poparte szacowaniem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{n}{\sqrt[3]{n^2}}.}\)