Witam, mam takie zadanie:
W klasie jest \(\displaystyle{ 2n}\) dzieci i \(\displaystyle{ n}\) dwuosobowych lawek. Wykaz przez indukcje ze dzieci mozna podzielic w pary na \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{2^n n!}}\) sposobow i rozsadzic w lawkach na \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{2^n}}\) sposobow.
Druga czesc zadania mam zrobiona: (pomijam krok)
Wezmy \(\displaystyle{ n}\) lawek i wybierzmy z nich dowolna lawke. Do niej musimy dobrac \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 2n}\) dzieci, czyli \(\displaystyle{ {2n \choose 2}}\) . Z zalozenia wiemy ze dla \(\displaystyle{ n-1}\) lawek zachodzi wzor podany wyzej, a ze dobieramy jeszcze do tej wzietej lawki wiec wynik mnozymy ze soba:
\(\displaystyle{ \frac{(2n-2)!}{2^{n-1}}\cdot \frac{(2n)!}{(2n-2)! 2!} = \frac{(2n)!}{2^n}}\).
Ale jak zrobic pierwsza czesc z parami?
Przypominam ze musze zastosowac indukcje strukturalna.
Pozdrawiam.