Kontrprzykłady do kryteriów zbieżności

[Rodis]

Zdanie polega na podaniu ciągów (szeregów) które obalają różne kryteria zbieżności przy opuszczeniu niektórych z ich założeń.
a) Kryterium asymptotyczne bez "stałego znaku [od pewnego miejsca]"
b) Kryterium Dirichleta bez monotoniczności (\(\displaystyle{ a_n}\)) (zakładając, że (\(\displaystyle{ a_n}\)) wciąż zbiega do 0, a \(\displaystyle{ b_n}\) ma ograniczony ciąg sum częściowych).
Ma ktoś jakiś pomysł?

[Dasio11]

a) A jak wygląda to kryterium z założeniem 'stałego znaku'?

b) \(\displaystyle{ b_n=(-1)^n, \ a_n=\left( \frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{6}, \frac{1}{7}, \ldots \right)}\)

[Rodis]

Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \rightarrow g \in \mathbb{R} - \{0\}}\) oraz \(\displaystyle{ (b_n)}\) ma wyrazy stałego znaku od pewnego miejsca, to \(\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^{+\infty} a_n}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^{+\infty} b_n}\) jest zbieżny.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \ b_n = \left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) a_n = \frac{1}{n} + a_n}\)

[Rodis]

Dzięki wielkie.