całka z arctgx

[renatkan]

\(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ (x+5)arctgxdx}\)

dzięki za pomoc

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ \int (x+5)arctgx dx=\int xarctgx +t 5arctgx dx=}\)
pierwszą całke już wiesz jak policzyć zatem wyliczę Ci tylko drugą
\(\displaystyle{ \int 5arctgx dx =5\int arctgx dx=
\begin{cases}
u=arctgx & v^{'}=1 \\
u^{'}=\frac{1}{1+x^2} & v=x
\end{cases}\newline
=5(xarctg-\int x\cdot \frac{1}{1+x^2}dx)=
5xarctg-5\int\frac{x}{1+x^2}dx=
5arctgx-\frac{5}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx=
5arctg-\frac{5}{2}ln(x^2+1)+c}\)

[boczuleq]

Witam, mam pytanie odnośnie operacji: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x dx}{x ^{2}+1 }}\) -> skąd wiadomo, że to jest \(\displaystyle{ ln(x ^{2}+1 )}\) ?
Może to pytanie jest banalne, lecz nie mogę tego zrozumieć, dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam.
Miłego dnia.

[Mariusz M]

Co do pierw szej całki wygodniej będzie wziąć

\(\displaystyle{ u^{\prime}=x\\
u= \frac{1}{2}\left( 1+x^2\right)}\)

ponieważ skróci się to z różniczką arcus tangensa

@up w liczniku jest pochodna mianownika więc po podstawieniu otrzymasz logarytm

[boczuleq]

Już rozumiem, dziękuję, nie wpadłem na to ;- ).
Dziękuję i pozdrawiam .
Miłego dnia.