Obliczanie przed podstawienie

[slabiaq]

Witam, czy to jest dobrze policzone? \(\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{\cos ^{3}x} dx =}\)

\(\displaystyle{ t=\cos x\\
dt = -\sin xdx\\
-dt = \sin xdx}\)

\(\displaystyle{ = - \frac{1}{t^{3}} dt = -\ln |t^{3}| + C}\)

[cela1620]

Podstawienie jest w porządku, ale sama całka jest źle policzona.

[slabiaq]

Nie moge zastosowac wzoru ze \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x} = ln|x| + C}\) ?

[armand]

W tym wzorze jest \(\displaystyle{ x^{-1}}\), a u Ciebie jest \(\displaystyle{ x^{-3}}\)

[cela1620]

Jeśli miałbyś samo t, to jak najbardziej, ale tam jest trzecia potęga, więc całka \(\displaystyle{ \int - \frac{1}{ t^{3} }dt = - \int t^{-3}dt =- \frac{ t^{-2} }{-2}}\)

C.

[slabiaq]

ok, dzieki - a w calce \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{2x-3} }}\) moge zrobic podstawienie \(\displaystyle{ t=2x-3}\) ? wtedy wychodzi wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2x-3} + C}\) bo w Krysickim jest podstawienie \(\displaystyle{ t= \sqrt{2x-3}}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{2x-3} + C}\) czy jesli mi wyszlo inaczej to jest zle?

[armand]

Wynik z Krysickiego jest dobry, \(\displaystyle{ 1/2}\) się tam upraszcza. Lepiej podstawić \(\displaystyle{ 2x-3=t}\), wtedy łatwiej zróżniczkować

Wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{ \sqrt{t} }= \frac{1}{2} \int t^{ \frac{-1}{2}}dt}\)