Geometria mas

[wolfmark]

Witam
Mam prośbę jak wiadomo jest sesja a ja nie potrafię zadań z geometrii mas.
W sobotę mam ostateczny termin. Czy jest ktoś wstanie podesłać mi jakieś materiały dotyczące obliczeń środka ciężkości itp ??
Figury jakie miałem dotychczas to bryły w kształcie litery T oraz L i I.
mamy obliczyć Jx0 lub Jy0.
Bardzo proszę o pomoc

[nuclear]

zacznijmy może od wzoru na środek ciężkości. Łatwo można dojść że dla dowolnego rozkładu mas prawdziwy jest związek dla x współrzędnej środka ciężkości

\(\displaystyle{ x_{sc}=\frac{1}{m}\int x dm}\)
jeżeli liczymy y to zamieniamy pod całką x na y
dalej przyjmijmy że masa jest równomiernie rozłożona czyli
\(\displaystyle{ \lambda=\frac{M}{S}}\)
gdzie
M- masa tego co liczymy
S pole powierzchni całkowitej
(przyjęliśmy że grubość jest pomijalna)
\(\displaystyle{ x_{sc}=\frac{\lambda}{m}\int_{D} x dS}\)

ostatecznie musimy ładnie rozpisać obszar całkowania D. W twoich przypadkach najłatwiej jest robić to w kartezjańskim układzie współrzędnych i całkę rozbić na dwa obszary.
**************************

a teraz może inaczej. Do Twoich przykładów stosowanie powyższej metody jest potrzebne jak znajomość języków aby dostać się do Parlamentu Europejskiego.

jak chcesz policzyć środek ciężkości np litery L to najpierw policz środek ciężkości nogi i tego co jest w górze a następnie środek ciężkości dwóch punktów. Chyba umiesz znaleźć środek ciężkości prostokąta.

[wolfmark]

zacznijmy może od wzoru na środek ciężkości. Łatwo można dojść że dla dowolnego rozkładu mas prawdziwy jest związek dla x współrzędnej środka ciężkości

\(\displaystyle{ x_{sc}=\frac{1}{m}\int x dm}\)
jeżeli liczymy y to zamieniamy pod całką x na y
dalej przyjmijmy że masa jest równomiernie rozłożona czyli
\(\displaystyle{ \lambda=\frac{M}{S}}\)
gdzie
M- masa tego co liczymy
S pole powierzchni całkowitej
(przyjęliśmy że grubość jest pomijalna)
\(\displaystyle{ x_{sc}=\frac{\lambda}{m}\int_{D} x dS}\)

ostatecznie musimy ładnie rozpisać obszar całkowania D. W twoich przypadkach najłatwiej jest robić to w kartezjańskim układzie współrzędnych i całkę rozbić na dwa obszary.
**************************

a teraz może inaczej. Do Twoich przykładów stosowanie powyższej metody jest potrzebne jak znajomość języków aby dostać się do Parlamentu Europejskiego.

jak chcesz policzyć środek ciężkości np litery L to najpierw policz środek ciężkości nogi i tego co jest w górze a następnie środek ciężkości dwóch punktów. Chyba umiesz znaleźć środek ciężkości prostokąta.

Powiem tak nie uzywalismy calek do liczenia tego.
Myslalem o obliczeniu pola pow. a nastepnie Jx0 i Jy0

[nuclear]

jeżeli bez całek :/ to tak jak pisałem na samym dole liczysz środek ciężkości jednego prostokąta czyli punkt przecięcia się przekątnych lub po prostu w układzie bok dzielisz długość boku przez 2. a później środek ciężkości dwóch punktów.

jeżeli nadal nie rozumiesz to wrzuć jakiś rysunek będzie łatwiej niż tak ogólnie.

[wolfmark]

Zadanie nie wymaga użycia całek. Chciałbym żeby mi ktoś to wytłumaczył krok po kroku. Wiem że dla wielu to jest banał ale ja tego nie potrafię.

[nuclear]

trochę kiepskie rysunki nie widzę wymiarów
ten pierwszy przykład jest dość prosty wystarczy znaleźć punkt symetrii (czyli wysokość i szerokość podziel przez 2).

drugi jest trochę ciekawszy
podziel sobie literę T na dwa prostokąty. x środka masy pionowej poprzeczki znajdziesz z dzieląc jej długość na 2 y dzieląc wysokość na 2 podobnie postępuj z pionową poprzeczką. po wykonaniu tej akcji dostajesz układ z dwoma punktami o masach m1 oraz m2 gdzie te masy są masami odpowiednich poprzeczek.
aby je policzyć musisz skorzystać ze stałej gęstości powierzchniowej
\(\displaystyle{ \lambda=\frac{M}{S}}\)
gdzie M oraz S popisane w wyższym poście
wyznaczamy masy m1(poziomej)
\(\displaystyle{ m_1=\lambda S_1}\)
gdzie S1 pole powierzchni poziomej poprzeczki.
masę m2 policzysz z zależności
\(\displaystyle{ m2 =M-m1}\)

ostatecznie mamy do policzenia
\(\displaystyle{ J_{x}=\frac{m_1x{poź}+m_2x_{pion}}{M}}\)

z y postępujesz identycznie.

mam nadzieje że rozumiesz moje wypociny

[micsre]

Moglbys wyjsnic co to znaczy x poziome i i x pionowe?

[nuclear]

x pionowa oznacza współrzędną środka ciężkości pionowej poprzeczki w literze T a
a x poziome to współrzędna x środka ciężkości poziomej poprzeczki.

[micsre]

To w takim razie musze Ci powiedizec ze sie mylisz z tym ze to wzor na moment bezwladnosci....Ten wzor ktory pokazales znajduje srodek ciazkosci calej figury a dokladniej wspolrzedna x.

[nuclear]

autor tematu w pierwszym poście prosił o wyznaczenie środka ciężkości.
tak przy okazji to jeżeli liczymy moment bezwładności to w całce kilka postów wyżej zmienia się x na x^2