nierównośc logarytmiczna z parametrem

[prawyakapit]

Mam taką oto nierówność, gdzie a jest parametrem:

\(\displaystyle{ \log _{a}(x^{2}+1)>1}\)

no to rozpatruję dwa przypadki \(\displaystyle{ 1. a \in (0,1)\ \ 2. a \in (1, \infty)}\)

w pierwszym przypadku wyszło mi \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}, \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2} \right)}\)

a w drugim \(\displaystyle{ x \in \left( -\infty,\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2} \right) \cup \left( \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2},\infty \right)}\)

ale jakoś nie jestem przekonana do tego rozwiązania

[dziabong]

przedziały słuszne. Ale jak doszedłeś do takich paskudnych wyników? Tu nie ma potrzeby liczenia delty....

[Kartezjusz]

Masz rację. (choć gdyby wynik był inny to przedziały byłyby słuszne...)
\(\displaystyle{ \log_{a}(x^{2}+1)=1}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+1=a}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{a-1}}\).Czyli wychodzi na to,że równość w wypadku a>1 daje powyższe rozwiązanie,a jeśli nie to równość nie ma rozwiązania,bo a-1<0 i pierwiastek w rzeczywistych nie istnieje.
Zauważmy więc,że jeśli \(\displaystyle{ a \in (0;1)}\) to ze względu,że \(\displaystyle{ 1+x^{2} \ge 1}\) wynika,że nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę, bo jeżeli podstawa jest mniejsza od 1 ,a liczba logarytmowana jest nie mniejsza,to oznacza,że wynik jest niedodatni,a to przeczy nierówności...