Kule domknięte.

[Ciamolek]

Witam,

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią metryczną. Niech \(\displaystyle{ A_{1}}\),\(\displaystyle{ A_{2}}\) będą kulami domkniętymi w \(\displaystyle{ X}\) z promieniami odpowiednio \(\displaystyle{ r_{1}}\), \(\displaystyle{ r_{2}}\), takimi że \(\displaystyle{ r_{1}>r_{2}>0}\). Czy \(\displaystyle{ A_{1}}\) może być podzbiorem właściwym \(\displaystyle{ A_{2}}\)? (czyli \(\displaystyle{ A_{1} \subset A_{2}}\) i \(\displaystyle{ A_{1} \neq A_{2}}\))

Proszę o wskazówki. Moim zdaniem jest to jakoś intuicyjnie możliwe (w przeciwnym razie by nie pytali! ), ale nie mogę wymyślić żadnego przykładu, który by to obrazował.

Pozdrawiam,
Ciamolek

[TPB]

Nie znam się prawie wcale na topologii, ale jeżeli promień kuli domkniętej \(\displaystyle{ A_{1}}\) jest większy od \(\displaystyle{ A_{2}}\) to chyba niemożliwe jest, aby cała kula \(\displaystyle{ A_{1}}\) była zawarta w \(\displaystyle{ A_{2}}\)? Jestem ciekawy rozwiązania i będę obserwował temat. Poczekaj na kompetentne osoby. Jestem pewny, że ktoś odpowie nawet po kilku dniach, prawie zawsze ludzie odpowiadają na tym forum z tego, co zaobserwowałem.

Pozdrawiam.

[Mistrz]

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną zadaną następująco: \(\displaystyle{ X = \{ 1, 4, 6, 7 \}}\), \(\displaystyle{ d(x,y) = \| x-y \|}\). Wówczas kule \(\displaystyle{ A_1 = B \left( 4, \frac{8}{3} \right) = \{4,6\}}\) oraz \(\displaystyle{ A_2 = B \left(6, \frac{7}{3} \right) = \{4,6,7\}}\) spełniają warunki zadania.



Nie sądziłem, że to możliwe, ale jednak.

Piszcie, jeśli coś w tym przykładzie jest niejasne.

[Psiaczek]

Dobra, żebyście nie musieli czekać kilka dni:

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią liczb rzeczywistych nieujemnych z metryką \(\displaystyle{ d(x,y)=\left| x-y\right|}\)

Weźmy \(\displaystyle{ K _{1}=K(0,1);K _{2}=K \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right)}\)

widzimy że \(\displaystyle{ K _{1}=[0,1]}\) natomiast \(\displaystyle{ K _{2}=\left[0, \frac{5}{4} \right]}\)

[Ciamolek]

Dzięki!