Iloczyn pierwiastka z sinusem z nietypowym argumentem

[KrzyseX]

Cześć. Czy ktoś ma jakikolwiek pomysł jak rozwiązać ową granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \sqrt{x} \cdot sin( \sqrt{x+1} - \sqrt{x} )}\)

Bardzo dziękuję za każdą pomoc.

[xanowron]

Pierwsza rzecz o jakiej myślisz widząc taką różnicę pierwiastków to sprzężenie.

[KrzyseX]

Dzięki, racja że to się narzuca, ale co potem? Wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\).
Z delopitala? Ale wtedy jakaś masakryczna pochodna chyba wyjdzie, na pewno?

[xanowron]

Pokaż co wyszło to coś się wymyśli.

[KrzyseX]

A wyszło
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \sqrt{x} \cdot sin( \frac{1}{ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}})}\)

[xanowron]

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \lim_{ t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)

[KrzyseX]

Dzięki, dla pewności:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{sin( \frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x} } )}{ \frac{1}{\sqrt{x}} }=
\lim_{ x \to \infty } \frac{sin( \frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x} } ) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}{ \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} }}\)

I tutaj nie jestem do końca pewny czy tak można zrobić, czy może inaczej?

Podstawiam \(\displaystyle{ t=\frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ t \to 0 } \frac{sin t}{t} \cdot \lim_{ x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}\)

Wynik jest dobry, niepokoi mnie tylko sposób oraz rozdział na dwa limesy ale na 99% wg mnie chyba tak będzie.

[xanowron]

Zapis jest średni, nie musisz robić przecież podstawienia, kawałek ułamka z sinusem zbiega do jedynki, a reszta do połówki, iloczyn granic i do domu.