pole płata (paraboloida hiperboliczna)

[Rafix_]

Polecenie brzmi: oblicz pole podanego obszaru na powierzchni określonej daną parametryzacją:

\(\displaystyle{ f(u,v)= (u\cosh v, u\sinh v, u^2)\quad u\in(0,\sqrt{2}), v\in(0,2\pi)\qquad\q}\)(fragment paraboloidy hiperbolicznej)
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{D}=(0,\sqrt{2}) \times (0,2\pi)}\)
próbuje liczyć ze wzoru, wykorzystującego formę kwadratową: \(\displaystyle{ P = \iint_{\mathcal{D}} \sqrt{E(u,v)G(u,v) -F^2(u,v)} \mbox{d}u\mbox{d}v}\),
gdzie

\(\displaystyle{ \\
E(u,v) = f'_u (u,v) \cdot f'_u (u,v) \\
G(u,v) = f'_v (u,v) \cdot f'_v (u,v) \\
F(u,v) = f'_u (u,v) \cdot f'_v (u,v) \\}\)

\(\displaystyle{ f'_u (u,v) = (\cosh v, \sinh v, 2u) \\
f'_v (u,v) = (u\sinh v, u\cosh v, 0) \\
\\
E(u,v) = \cosh^{2}v+\sinh^{2}v+4u^2 \\
G(u,v) = u^2\sinh^{2}v+u^2\cosh^{2}v \\
F^2(u,v) = 4u^2\cosh^{2}v\sinh^{2}v}\)

\(\displaystyle{ EG-F^2=u^2\left[4u^2(\sinh^{2}v+\cosh^{2}v) + 1\right]}\)

Jak to dalej uprościć żeby dało się policzyć całkę z \(\displaystyle{ \sqrt{EG -F^2}}\) ??

[Chromosom]

Najpierw oblicz całkę po \(\displaystyle{ u}\). Licząc w pamięci widzę, że funkcja podcałkowa uprości się po podstawieniu granic całkowania i po wykorzystaniu jedynki hiperbolicznej.

[Rafix_]

możesz rozpisać, bo nie bardzo to widzę ?

[Chromosom]

najpierw oblicz całkę po \(\displaystyle{ u}\)

[Rafix_]

I podstawienie Eulera ?

[Chromosom]

funkcja podcałkowa ma postać \(\displaystyle{ u\sqrt{u^2a^2+1}}\), zatem należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ u^2a^2+1=t^2}\)