Znajdź maksimum wyrażenia (formy kwadratowe/dwuliniowe)

[Ciamolek]

Witam,

otóż zadanie jest następujące:

Niech \(\displaystyle{ a_{1}, ... , a_{n}}\) będą liczbami rzeczywistymi, takimi że: \(\displaystyle{ a_{1}+...+a_{n}=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}=1}\).

Znajdź największą możliwą wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+...+a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}}\).

Zadanie pojawiło się w dziale z formami kwadratowymi i dwuliniowymi, więc pewnie gdzieś tam trzeba szukać inspiracji. Ja nie widzę póki co, jak by je ugryźć i byłbym wdzięczny, gdyby ktoś zechciał mi udzielić jakichś wskazówek.

Pozdrawiam,
Ciamolek

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n}a_{i}a{i+1}}\)przy czym \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{1}}\).przy tych założeniach watość naszego wyrażenia powinna być więc stała,bo możemy wyrazić przy pomocy stałych...

[Ciamolek]

\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n}a_{i}a{i+1}}\)przy czym \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{1}}\)(...)

Rozumiem, że miałeś na myśli:
\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1}}\)

(czyli w ostatnim wyrażeniu \(\displaystyle{ (i+1)}\) jest indeksem dolnym)

Ale czy oby na pewno ta równość jest prawdziwa? Jak dla mnie, to:
\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2 \sum_{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}}\) dla \(\displaystyle{ i<j}\).

Pozdrawiam,
Ciamolek

[Kartezjusz]

Przepradzam. Zagapiłem się:-)
Zapisz wyrażenie przy użyciu kwadratów(wzór Jordana)