Sprawdzenie przykładu z granić ciągu

[Piczet]

Witam !
Chciałbym żebyście mi sprawdzili przykład. Który sposób wykonania jest dobry lub podali jak poprawnie mam go zrobić.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } ( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } -2n = \lim_{ n \to \infty } \sqrt{n^{2}(4 + \frac{9}{n} )- \frac{2}{ n^{2} } } - 2n = \lim_{ n \to \infty } n \cdot 2 - 2n = 0}\)

czy tak

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } ( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } -2n = \lim_{ n \to \infty } \frac{ ( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } -2n \cdot ( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } +2n}{ ( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } +2n} = \lim_{ n \to \infty } \frac{4 n^{2} +9n - 2 - 4 n^{2} }{( \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } +2n} =
\lim_{ n \to \infty } } \frac{9n - 2}{\sqrt{n^{2}(4 + \frac{9}{n} )- \frac{2}{ n^{2} } } + 2n} = \frac{\infty }{\infty } = 0}\)

[piasek101]

Ani jedno ani drugie.

Np w drugim skrócić przez \(\displaystyle{ n}\).

[tortoise]

Wystarczy skorzystać z krótkiego przekształcenia:

\(\displaystyle{ a-b = \frac{a^2 - b^2}{a+b}}\)

W Twoim przypadku:
\(\displaystyle{ a = \sqrt{4 n^{2} + 9n -2}}\)
\(\displaystyle{ b= 2n}\)

Pozdrawiam

[Piczet]

Aha.
Czyli po wyliczeniu w pewnym momęcie dojdę do \(\displaystyle{ ...=\lim_{ n \to \infty } \frac{9n-2}{n \cdot 2} = \frac{9-2}{2} = \frac{7}{2}}\)

Zgadza się czy jeszcze nie tam myślę ?
pozdrawiam

[tortoise]

\(\displaystyle{ \sqrt{4 n^{2} + 9n -2 } -2n = \frac{4n^2 + 9n - 2 - 4n^2}{\sqrt{4 n^{2} + 9n -2 }+2n} = \frac{9n - 2}{\sqrt{4 n^{2} + 9n -2 }+2n} = ...}\)

Dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ n}\).

\(\displaystyle{ ... = \frac{9 - \frac{2}{n} }{\sqrt {4 + \frac{9}{n} - \frac{2}{n^2}}+2} \rightarrow \frac{9-0}{\sqrt{4+0-0}+2} = \frac{9}{4}}\)

[Piczet]

Wszystko rozumiem oprócz zgubienia n przy dwójce w mianowniku za pierwiastkiem.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } 3n- \sqrt{9 n^{2}+1 } = \lim_{ n \to \infty } \frac{9 n^{2} - 9 n^{2} +1 }{3n +3n} = \frac{1}{6}}\)


Coś takiego ?

[piasek101]

Wszystko rozumiem oprócz zgubienia n przy dwójce w mianowniku za pierwiastkiem. (*)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } 3n- \sqrt{9 n^{2}+1 } = \lim_{ n \to \infty } \frac{9 n^{2} - 9 n^{2} +1 }{3n +3n} = \frac{1}{6}}\)(**)

(*)
Tak jak pisałem - skracał przez (n); dlatego znikło przy dwójce.

(**) Nie masz dobrze - licznik \(\displaystyle{ 9n^2-9n^2-1}\) a mianownik zupełnie inny (bo coś ,,poupraszczałeś").
Wynik inny bo (n) w mianowniku jest.

[tortoise]

Wszystko rozumiem oprócz zgubienia n przy dwójce w mianowniku za pierwiastkiem.

Właśnie do tego odnosi się mój krótki komentarz przy rozwiązaniu. KAŻDY wyraz dzielimy przez najwyższą potęgę występującą w mianowniku (czyli taką jest \(\displaystyle{ n^1=n}\)). Stąd \(\displaystyle{ \frac{2n}{n}=2}\).


\(\displaystyle{ 3n- \sqrt{9 n^{2}+1} = \frac{9n^2 - 9n^2 -1}{3n+\sqrt{9n^2+1}} = ...}\)

Teraz musisz każdy wyraz z osobna podzielić przez \(\displaystyle{ n}\).

Pozdrawiam

[Piczet]

Czyli nie interesuje mnie najwyższa potęga z licznika bo i tak wszystko dziele przez najwyższą potęge z mianownika?

\(\displaystyle{ \frac{9n^2 - 9n^2 -1}{3n+\sqrt{9n^2+1}} = \frac{\frac{9n^2}{n} - \frac{9n^2}{n} - \frac{1}{n} }{ \frac{3n}{n} + \frac{3n}{n}+ \frac{1}{n} }= \frac{9n - 9n - 0}{3 + 3 + 0} = \frac{0}{6} =0}\)

Może mi ktoś to rozpisać bo to moje w ogóle mi sie nie podoba :/ . Sam bym w liczniku podzielił przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) ale to też by mi nic nie dało :/

[piasek101]

\(\displaystyle{ \frac{9n^2 - 9n^2 -1}{3n+\sqrt{9n^2+1}} = \frac{-1}{3n+\sqrt{{9n^2+1}}}=...}\)

A pod granicą (skracanie przez (n)) jest

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty }\frac{\frac{-1}{n}}{\frac{3n}{n}+\sqrt{\frac{9n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}}}\)

[Piczet]

W liczniku wyjdzie mi \(\displaystyle{ - \infty}\) ponieważ dziele \(\displaystyle{ -1}\) przez \(\displaystyle{ \infty}\). W mianowniku \(\displaystyle{ n}\) mi się skróci a pod pierwiastkiem bedzie \(\displaystyle{ \sqrt{9 +0} =3}\)

\(\displaystyle{ ...= \frac{- \infty }{3 +3} = - \infty}\)

To tez nie za bardzo mi wyszło ...

[piasek101]

Jak podzielisz (co prawda ujemnego) pączka pomiędzy wszystkich kitajców to ile każdy dostanie ?
Na pewno nie tak dużo jak Ty piszesz

\(\displaystyle{ \frac{-1}{\infty}\neq -\infty}\)

[Piczet]

Wartość zbliżona do 0 ... . Czyli wynik jest po prostu 0 ?

[piasek101]

Tak.

[Piczet]

Wielkie dzięki za cierpliwośc do mnie.
pozdrawiam