Transformata Z metodą residuów

[Pablopablo]

Witam!

Mam pytanie do wzoru 4 w instrukcji:


Biorąc pod uwagę, że residuum to granica, a tutaj autor posługuje się pochodną, dlaczego nazywa się to metodą residów?
Mam transmitancję:
\(\displaystyle{ G\left( s\right)= \frac{1}{\left( s+1\right)\left( 5s+1\right) }}\)
Są dwa bieguny jednokrotne, więc nb=2, rk=1. I dalej ciężko mi wykorzystać podany wzór.
Proszę o podpowiedź.

Pozdrawiam

[luka52]

Obliczenie pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ s = s_k}\) należy traktować jako obliczenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{s \to s_k}}\). A nazywa się to "metoda residuów", gdyż oblicza się residuum funkcji .

[Pablopablo]

Tylko dla biegunów jednokrotnych jest pochodna zerowa(rk=1), czyli żadna pochodna, więc jakie to ma przełożenie na granicę?
Nie pytam ze złośliwości, ale po prostu gubię tutaj gdzieś sens tego wzoru w przypadku rk=1.

[luka52]

Autor skryptu widocznie wybrał taką skróconą notację. Bardziej poprawnie powinna się pojawić granica tak, jak np. we wzorze, który można znaleźć na wikipedii .

[Pablopablo]

No dobrze, więc jeżeli policzę dla zadanej transmitancji G(s) dwa residua i zsumuję je, mnożąc przez ten czynnik
\(\displaystyle{ \frac{z}{z-{e}^{sTp}}}\)
to będzie poprawnie?

[luka52]

Nie, gdyż residua należy obliczyć z funkcji

\(\displaystyle{ G(s) \cdot \frac{z}{z - e^{s T_p}}}\),

a nie \(\displaystyle{ G(s)}\), choć punkty osobliwe pozostają bez zmian.