przedmioty w pudełkach

[manduka]

Na ile sposobów można rozmieścić trzy przedmioty w dwóch pudełkach, jeżeli
a) przedmioty i pudełka sa rozroznialne
b) przedmioty sa rozroznialne, a pudelka sa nierozroznialne
c) pudelka sa rozroznialne, a przedmioty nieroznialne
d) przedmioty i pudelka sa nierozroznialne

są na to jakieś ogólne wzory ? czy trzepa łopatologicznie rysować przypadki

[SidCom]

Są na to wzory...podobne problemy pojawiły się już dawno temu w mechanice statystycznej gdzie ma się do czynienia z ogromem cząstek i nikt nie dałby rady łopatologicznie rozrysowywać przypadków

[manduka]

no więc jakie nalezy zastosować wzory w tych przypadkach ?

[niks]

Ja wiem tyl,e że w przykładzie a) na pewno będą wariacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ n^{k}}\). Co do pozostałych też chętnie się dowiem

[Majeskas]

a) \(\displaystyle{ 2^3=8}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{Bmatrix}3\\1\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}3\\2\end{Bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\) - liczby Stirlinga II rodzaju - ilość podziałów zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego na \(\displaystyle{ k}\) bloków. Z własności liczb Stirlinga II rodzaju obliczamy:

\(\displaystyle{ \begin{Bmatrix}3\\1\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}3\\2\end{Bmatrix}=1+\begin{Bmatrix}3-1\\2-1\end{Bmatrix}+2\begin{Bmatrix}3-1\\2\end{Bmatrix}=1+\begin{Bmatrix}2\\1\end{Bmatrix}+2\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}=1+1+2\cdot1=4}\)

c) \(\displaystyle{ {3+2-1\choose2-1}={4\choose1}=4}\)

d) \(\displaystyle{ p_1(3)+p_2(3)}\)

\(\displaystyle{ p_k(n)}\) oznacza ilość partycji liczby \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k}\) liczb, czyli ilość przedstawień \(\displaystyle{ n}\) jako sumy \(\displaystyle{ k}\) liczb naturalnych dodatnich. Z własności partycji obliczamy

\(\displaystyle{ p_1(3)+p_2(3)=1+\left\lfloor\frac32\right\rfloor=2}\)