funkcja logarytmiczna

[kaelo]

Proszę o rozwiązanie

\(\displaystyle{ log _{0,3}x + log _{0,3}(x+5) \le log _{0,3}0,02}\)

Doszedłem do liczenia:
\(\displaystyle{ x^{2}+5x-0,02 \le 0}\)
tylko że pierwiastek z delty nie wychodzi ładnie, także nie wiem czy robię dobrze

[chris_f]

To, ze pierwiastek nie wychodzi "ładny" to nie problem, tak czasami bywa (może jest błąd w treści itp., a może tak ma być).
Problem masz w tym, że przy opuszczaniu logarytmów nie zmieniłeś znaku nierówności, a powinieneś, no i do tego nie wyznaczyłeś dziedziny nierówności (od tego powinieneś zacząć).

[kaelo]

zawsze przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić znak nierówności?
a jeśli chodzi o dziedzinę to wystarczy \(\displaystyle{ x>0}\)?

[Zimnx]

Nie wystarczy. Znak nierownosci obracasz gdy podstawa logarytmu \(\displaystyle{ 0 < a <1}\).

[kaelo]

W dziedzinie można jeszcze napisać że \(\displaystyle{ x>-5}\), ja nic więcej nie widzę.-- 8 sty 2012, o 17:48 --Mam problem jeszcze z 2 przykładami:
\(\displaystyle{ log(64 \sqrt[4]{2 ^{x ^{2}-40x } })<0}\)
wydaje mi się że trzeba to liczyć tak:
\(\displaystyle{ log( 2^{5} \cdot 2 ^{ \frac{x ^{2}-40x }{4} })=2 ^{ \frac{x ^{2}-40x+20 }{4} }}\)
Można by dalej skrócić potęgę przez 4.

i drugi przykład:
\(\displaystyle{ log _{2}(9- 2^{x}) >3-x}\)

za ten kompletnie nie wiem jak się wziąść

[chris_f]

Owszem to jest jedna część dziedziny, uwzględniając to co wcześniej zapisałeś to dostaniesz, że
\(\displaystyle{ x>0\wedge x>-5\Longrightarrow x>0}\)
Może to oczywiste ale trzeba było zapisać.
Dalej, po przekształceniu tej nierówności logarytmicznej dostałeś coś takiego
\(\displaystyle{ \log_{0,3}x(x+5)\le\log_{0,3}0,02}\)
I teraz aby opuścić logarytmy należy zmienić znak nierówności ponieważ podstawa logarytmu \(\displaystyle{ 0,3<1}\) (w przeciwnym wypadku znaku nierówności nie zmienialibyśmy). Czyli dostaniesz nierówność
\(\displaystyle{ x^2+5x-0,02\ge0}\)
To oczywiście nie zmienia delty, ale zmienia rozwiązanie nierówności.

Z tych następnych to może ten drugi (w pierwszym to tak skopałeś, że nie wiadomo o co ci chodzi)
\(\displaystyle{ log _{2}(9- 2^{x}) >3-x}\)
Dziedzina - tu ją tylko zapiszę, dokładnie rozlicz ją sam \(\displaystyle{ 9-2^x>0}\)
Natomiast nierówność
\(\displaystyle{ log _2(9- 2^x) >3-x}\)
\(\displaystyle{ log _2(9- 2^x) >log_22^{3-x}}\)
i teraz możemy opuścić logarytmy nie zmieniając znaku (bo podstawa większa niż jeden) i dostajemy
\(\displaystyle{ 9-2^x>2^{3-x}}\)
Myślę, że z taką nierównością wykładniczą sobie poradzisz.

[kaelo]

wielkie dzięki

w tym pierwszym przykładzie w w końcówce jest błąd
zamiast
\(\displaystyle{ log( 2^{5} \cdot 2 ^{ \frac{x ^{2}-40x }{4} })=2 ^{ \frac{x ^{2}-40x+20 }{4} }}\)
powinno być
\(\displaystyle{ log( 2^{5} \cdot 2 ^{ \frac{x ^{2}-40x }{4} })=log(2 ^{ \frac{x ^{2}-40x+20 }{4} })}\)

[Kosiasz]

W tym pierwszym gdy już sobie przekształciłeś, zamień 0 na logarytm. Porównaj liczby logarytmowane i to chyba tyle.

[Zimnx]

\(\displaystyle{ 64 = 2^6}\)