Uogólniona suma i iloczyn zbiorów

[3squad]

Znajdź \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in T} A_t}\) i \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t}\), gdy \(\displaystyle{ A_{t} = \left\{ \left( x,y\right) \in R^{2}: y \ge \frac{1}{t}x^{2}\right\}, t \in R_{+}}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Nie za bardzo wiem jak podejść do iloczynu kartezjańskiego.

[miki999]

Zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{t}x^2}\) dla danego \(\displaystyle{ t}\) jest obszarem nad pewną parabolą.

[3squad]

\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t = \left\{\left( x,y\right): y \in R_{+}, x \in R\right\} \cup \left( 0,0\right)}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{t \in T} A_t = \left( 0,0\right)}\)

Dobrze?

[miki999]

Nie.
Pierwsze na pierwszy rzut oka jest ok.
Drugie niestety nie: podpowiem, że rozwiązaniem będzie pewna prosta.

[Jan Kraszewski]

Pierwsze na pierwszy rzut oka jest ok.

Byłoby OK, gdyby były jeszcze wąsy gdzie trzeba. Na razie nie jest.

JK

[3squad]

\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t = \left\{\left( x,y\right): y \in R_{+}, x \in R \cup \left( 0,0\right)\right\}}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{t \in T} A_t = \left\{ \left( x,y\right): y \in R_{+} \cup \left\{ 0\right\} \wedge x=0\right\}}\)

Czy o to chodziło?

[Jan Kraszewski]

Suma - nie, fatalna składnia. Powinno być

\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t = \left\{\left( x,y\right): y \in \mathbb R_{+}\land x \in \mathbb R\right\} \cup \{\left( 0,0\right)\}}\)

Przekrój dobrze (choć ja osobiście nie pozwalam na przecinki).

JK

[3squad]

Rozumiem, że zamiast przecinka powinienem stosować znak \(\displaystyle{ \wedge}\)?

[Jan Kraszewski]

Tak jest poprawniej (przecinek jest, powiedzmy, slangowy).

JK